Calcule as integrais duplas dadas abaixo:
integral0^1 integral0^1-x(1-x^2) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é:
integral0^1 integral0^1-x(1-x^2) , dy , dx
Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais duplas, ou seja, integrar uma função em duas variáveis sobre uma determinada região.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é a integral em relação a integral0^1-x(1-x^2) , dy :
Note que não depende de , então podemos tratá-lo como uma constante durante essa integração.

Passo 3

Integrando integral0^1-x(1 - x^2) , dy = (1 - x^2) cdot (1 - x - 0) = (1 - x^2)(1 - x) em relação a de a :

Passo 4

Agora, simplificamos a expressão resultante:
(1 - x^2)(1 - x) = 1 cdot 1 - 1 cdot x - x^2 cdot 1 + x^2 cdot x = 1 - x - x^2 + x^3
Então, a integral dupla agora fica:
integral0^1 (1 - x - x^2 + x^3) , dx

Passo 5

Vamos integrar termo por termo em relação a :

Passo 6

Agora, somamos todos os resultados:
1 - 12 - 13 + 14
Vamos calcular isso:
  1. Transformando para o denominador comum, que é 12:
1 = 1212, -12 = -612, -13 = -412, 14 = 312
  1. Somando:
1212 - 612 - 412 + 312 = 512

Resposta

A integral dupla vale .

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