Calcule as integrais duplas dadas abaixo:
integral0^1 integralx^1 e^-y^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
integral0^1 integralx^1 e^-y^2 , dy , dx
Aqui, estamos trabalhando com integrais duplas, que envolvem calcular áreas em coordenadas cartesianas. Para resolver isso, vamos precisar entender como trocar a ordem da integração e usar a função erro.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. A integral está de x = 0 a x = 1 e, para cada x, y vai de y = x até y = 1. Isso forma um triângulo no plano xy.

Passo 3

Agora, vamos trocar a ordem das integrações. Em vez de integrar primeiro em y de x a 1, vamos integrar primeiro em x de 0 a y. Isso facilita a resolução porque a função e^-y^2 não depende de x.

Passo 4

Com a ordem trocada, a integral fica:
integral0^1 integral0^y e^-y^2 , dx , dy
Aqui, a integração em x é simples porque e^-y^2 é constante em relação a x.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em x:
integral0^y e^-y^2 , dx = e^-y^2 cdot x |0^y = e^-y^2 cdot y - e^-y^2 cdot 0 = y , e^-y^2

Passo 6

Agora, a integral fica:
integral0^1 y , e^-y^2 , dy
Para resolver isso, vamos usar uma substituição.

Passo 7

Vamos fazer a substituição u = -y^2. Então, du = -2y , dy, ou seja, y , dy = -12 du. A integral fica:
-12 integralu(0)^u(1) e^u , du = -12 ( e^u |0^-1 ) = -12 ( e^-1 - e^0 )

Passo 8

Simplificando:
-12 ( 1e - 1 ) = 12 ( 1 - 1e )

Resposta

Portanto, o valor da integral dupla é:
12 ( 1 - 1e )

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