Inverta a ordem de integração:
integral0^1 integralraizx-x^2^raiz2 x f(x, y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para inverter a ordem de integração de uma dupla integral. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas e mudanças de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração atuais e redesenhar a região de integração para ajustar a ordem dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites atuais. Temos 0 <= x <= 1 indo de 0 a 1, e para cada raizx - x^2 <= y <= raiz2x , vai de até . Então, a região de integração está definida por:

Passo 3

Para inverter a ordem, precisamos expressar y = raizx - x^2 em termos de y = raiz2x . Vamos resolver as desigualdades para achar os novos limites. Primeiro, observamos as funções que definem :

Passo 4

Vamos resolver y = raiz2x para y^2 = 2x :
x = y^22

Passo 5

Agora, resolvemos y = raizx - x^2 :
y^2 = x - x^2
x^2 - x + y^2 = 0
x = 1 pm raiz1 - 4y^22
Usando a fórmula de Bhaskara para encontrar :

Passo 6

Para determinar os limites de y = raiz0 - 0 = 0 , notamos que y = raiz1 - 1 = 0 varia de 0 a 1. Quando dydx = 1 - 2x2raizx - x^2 = 0 :
1 - 2x = 0 Rightarrow x = 12
E quando y = raiz12 - (12)^2 = raiz12 - 14 = raiz14 = 12 :
O ponto máximo ocorre no meio, então calculamos quando a derivada de em relação a é zero:
Substituindo:
Então, varia de 0 a .

Passo 7

Agora, para , varia desde até , derivado da solução da equação quadrática.

Passo 8

Portanto, a ordem de integração invertida fica:
integral0^12 integraly^22^1 - raiz1 - 4y^2 f(x, y) , dx , dy

Resposta

A ordem de integração invertida é:
integral0^12 integraly^22^1 - raiz1 - 4y^2 f(x, y) , dx , dy

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