Inverta a ordem de integração:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para inverter a ordem de integração de uma dupla integral. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas e mudanças de ordem de integração. Para resolver, vamos precisar entender os limites de integração atuais e redesenhar a região de integração para ajustar a ordem dos limites.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites atuais. Temos
indo de 0 a 1, e para cada
,
vai de
até
. Então, a região de integração está definida por:
Passo 3
Para inverter a ordem, precisamos expressar
em termos de
. Vamos resolver as desigualdades para achar os novos limites. Primeiro, observamos as funções que definem
:
Passo 4
Vamos resolver
para
:
Passo 5
Agora, resolvemos
:
Usando a fórmula de Bhaskara para encontrar
:
Passo 6
Para determinar os limites de
, notamos que
varia de 0 a 1. Quando
:
E quando
:
O ponto máximo ocorre no meio, então calculamos quando a derivada de
em relação a
é zero:
Substituindo:
Então,
varia de 0 a
.
Passo 7
Agora, para
,
varia desde
até
, derivado da solução da equação quadrática.
Passo 8
Portanto, a ordem de integração invertida fica:
Resposta
A ordem de integração invertida é: