Calcule as integrais duplas dadas abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral dupla da função
nas seguintes regiões:
varia de 0 a 1 e
varia de 1 a 2. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções de duas variáveis, ou seja, realizar integrais iteradas.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a integral interna, que é em relação a
. A integral interna é:
Aqui,
é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Como estamos calculando uma integral definida, podemos ignorar
.
Passo 4
Vamos avaliar a integral de 0 a 1:
Então, a integral interna resulta em
.
Passo 5
Agora, vamos integrar o resultado
em relação a
de 1 a 2:
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Mais uma vez, a constante
pode ser ignorada porque estamos calculando uma integral definida.
Passo 7
Vamos avaliar a integral de 1 a 2:
Resposta
A integral dupla é igual a 2.