Calcule as integrais duplas dadas abaixo:
integral1^2 integral0^1 x+y d x d y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular uma integral dupla da função nas seguintes regiões: varia de 0 a 1 e varia de 1 a 2. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções de duas variáveis, ou seja, realizar integrais iteradas.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a integral interna, que é em relação a integral0^1 (x + y) , dx . A integral interna é:
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Agora, vamos integrar integral (x + y) , dx = 12x^2 + yx + C em relação a :
Onde é a constante de integração. Como estamos calculando uma integral definida, podemos ignorar .

Passo 4

Vamos avaliar a integral de 0 a 1:
[ 12x^2 + yx ]0^1 = ( 12(1)^2 + y(1) ) - ( 12(0)^2 + y(0) ) = 12 + y
Então, a integral interna resulta em .

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado integral1^2 ( 12 + y ) , dy em relação a de 1 a 2:

Passo 6

Integrando integral ( 12 + y ) , dy = 12y + 12y^2 + C em relação a :
Mais uma vez, a constante pode ser ignorada porque estamos calculando uma integral definida.

Passo 7

Vamos avaliar a integral de 1 a 2:
[ 12y + 12y^2 ]1^2 = ( 12(2) + 12(2)^2 ) - ( 12(1) + 12(1)^2 ) = ( 1 + 2 ) - ( 12 + 12 ) = 3 - 1 = 2

Resposta

A integral dupla é igual a 2.

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