A equação de Tchebyshev é
Encontre a fórmula de recorrência para os coeficientes da solução geral dessa equação pelo método das séries de potências.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a equação de Tchebyshev usando séries de potências. A gente precisa encontrar a fórmula de recorrência para os coeficientes da solução geral. Isso envolve conhecimentos de equações diferenciais e séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução da equação pode ser escrita como uma série de potências. Ou seja,
Aqui,
são os coeficientes que queremos determinar.
Passo 3
Agora, precisamos achar as derivadas primeira e segunda de
:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação de Tchebyshev:
Substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo separadamente. Primeiro, distribuindo
:
O segundo termo:
E o terceiro termo já está pronto:
Passo 6
Agora, vamos alinhar os índices das séries para termos semelhantes. Vamos fazer substituições:
Para o primeiro termo, deixe
:
Para o segundo termo, já está com
.
Para o terceiro termo, já está com
.
Agora, a equação fica:
Passo 7
Vamos reescrever todas as séries com o índice
:
Passo 8
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 9
Para que a igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de cada
devem ser iguais a zero:
Passo 10
Isolando
:
Resposta
A fórmula de recorrência para os coeficientes é: