A equação de Tchebyshev é
(1 - x^2) y'' - x y' + p^2 y = 0, p = const
Encontre a fórmula de recorrência para os coeficientes da solução geral dessa equação pelo método das séries de potências.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a equação de Tchebyshev usando séries de potências. A gente precisa encontrar a fórmula de recorrência para os coeficientes da solução geral. Isso envolve conhecimentos de equações diferenciais e séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução da equação pode ser escrita como uma série de potências. Ou seja,
Aqui, são os coeficientes que queremos determinar.

Passo 3

Agora, precisamos achar as derivadas primeira e segunda de :

Passo 4

Vamos substituir , e na equação de Tchebyshev:
Substituindo:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo separadamente. Primeiro, distribuindo :
O segundo termo:
E o terceiro termo já está pronto:

Passo 6

Agora, vamos alinhar os índices das séries para termos semelhantes. Vamos fazer substituições:
Para o primeiro termo, deixe :
Para o segundo termo, já está com .
Para o terceiro termo, já está com .
Agora, a equação fica:

Passo 7

Vamos reescrever todas as séries com o índice :

Passo 8

Agrupando os termos semelhantes:

Passo 9

Para que a igualdade seja válida para todo , os coeficientes de cada devem ser iguais a zero:

Passo 10

Isolando :

Resposta

A fórmula de recorrência para os coeficientes é:

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