A equação de Tchebyshev é
(1 - x^2) y'' - x y' + p^2 y = 0, p = const
Se p = n = 0, 1, 2, 3, ..., verifique que existe uma solução que é um polinômio de grau n e é único a menos de multiplicação por um escalar. Chama-se de polinômio de Tchebyshev de primeira ordem de grau n ao polinômio T_n(x) que se obtém impondo a condição de que o termo de maior grau seja 2^(n-1) x^n. Verifique que
T3(x) = 4x^3 - 3x e T4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1

Passo 1

Vamos analisar o enunciado que trata da Equação de Tchebyshev:
(1 - x^2) y'' - x y' + p^2 y = 0, p = const
O objetivo é verificar que, para valores de onde , existe uma solução polinomial de grau que é única, exceto por multiplicação por um escalar. Além disso, precisamos confirmar especificamente as formas dos polinômios de Tchebyshev de terceira e quarta ordem:
Para resolver, vamos seguir passo a passo aplicando conceitos de equações diferenciais e polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Equação de Tchebyshev dada:
Aqui, é a função que buscamos, e suas derivadas são e . A equação é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem.
Quando , onde é um número inteiro não negativo, buscamos soluções polinomiais de grau . Isso significa que será um polinômio de Tchebyshev de primeira ordem.

Passo 3

Vamos verificar para :
Considerando , vamos calcular as derivadas necessárias:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na equação de Tchebyshev:
Expandindo:
Simplificando os termos:
Portanto, satisfaz a equação de Tchebyshev para .

Passo 4

Agora, vamos verificar para :
Considerando , calculamos as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na equação de Tchebyshev:
Expandindo:
Simplificando os termos:
Portanto, também satisfaz a equação de Tchebyshev para .

Resposta

Os polinômios e satisfazem a equação de Tchebyshev para e , respectivamente.

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