A equação de Tchebyshev é
Se
, verifique que existe uma solução que é um polinômio de grau
e é único a menos de multiplicação por um escalar. Chama-se de polinômio de Tchebyshev de primeira ordem de grau
ao polinômio
que se obtém impondo a condição de que o termo de maior grau seja
. Verifique que
Passo 1
Vamos analisar o enunciado que trata da Equação de Tchebyshev:
O objetivo é verificar que, para valores de
onde
, existe uma solução polinomial
de grau
que é única, exceto por multiplicação por um escalar. Além disso, precisamos confirmar especificamente as formas dos polinômios de Tchebyshev de terceira e quarta ordem:
Para resolver, vamos seguir passo a passo aplicando conceitos de equações diferenciais e polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Equação de Tchebyshev dada:
Aqui,
é a função que buscamos, e suas derivadas são
e
. A equação é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem.
Quando
, onde
é um número inteiro não negativo, buscamos soluções polinomiais de grau
. Isso significa que
será um polinômio de Tchebyshev de primeira ordem.
Passo 3
Vamos verificar para
:
Considerando
, vamos calcular as derivadas necessárias:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na equação de Tchebyshev:
Expandindo:
Simplificando os termos:
Portanto,
satisfaz a equação de Tchebyshev para
.
Passo 4
Agora, vamos verificar para
:
Considerando
, calculamos as derivadas:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na equação de Tchebyshev:
Expandindo:
Simplificando os termos:
Portanto,
também satisfaz a equação de Tchebyshev para
.
Resposta
Os polinômios
e
satisfazem a equação de Tchebyshev para
e
, respectivamente.