Seja R a região triangular de vértices (0,0),(3,3) e (0,4) do plano x y. Expressa como uma integral iterada dupla, a área de R in A(R)=

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a área de uma região triangular no plano XY, com os vértices em (0,0), (3,3) e (0,4). Para resolver isso, vamos usar integrais duplas, que são uma ferramenta da matemática para calcular áreas e volumes. Precisamos entender como descrever essa região R com limites de integração apropriados para montar nossa integral iterada dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o triângulo para visualizar melhor. Os vértices são (0,0), (3,3) e (0,4). Conectando esses pontos, percebemos que o triângulo está limitado pelas seguintes linhas:
  1. A linha de (0,0) a (3,3), que é a reta y = x.
  2. A linha de (3,3) a (0,4), que podemos encontrar a equação.
  3. A linha de (0,4) a (0,0), que é a reta x = 0.

Passo 3

Vamos encontrar a equação da reta que liga (3,3) a (0,4). Para isso, usamos a fórmula da inclinação (m):
m = y2 - y1x2 - x1 = 4 - 30 - 3 = 1-3 = -13
Agora, usando a forma ponto-inclinação da equação da reta, com o ponto (3,3):
y - 3 = -13(x - 3)
y - 3 = -13x + 1
y = -13x + 4
Então, a equação da reta é y = -13x + 4 .

Passo 4

Para configurar a integral dupla, precisamos determinar os limites de integração para x e y. Observando o triângulo:
  • O valor de x varia de 0 a 3.
  • Para cada x entre 0 e 3, y varia desde a reta inferior y = x até a reta superior y = -13x + 4 .

Passo 5

Agora, montamos a integral dupla para calcular a área A®:
A(R) = integralx=0^3 integraly=x^-13x + 4 dy , dx

Resposta

A área de R pode ser expressa como a integral iterada dupla:
A(R) = integral0^3 integralx^, -13x + 4 dy , dx

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