Seja
a região triangular de vértices
e
do plano
. Expressa como uma integral iterada dupla, a área de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a área de uma região triangular no plano XY, com os vértices em (0,0), (3,3) e (0,4). Para resolver isso, vamos usar integrais duplas, que são uma ferramenta da matemática para calcular áreas e volumes. Precisamos entender como descrever essa região R com limites de integração apropriados para montar nossa integral iterada dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o triângulo para visualizar melhor. Os vértices são (0,0), (3,3) e (0,4). Conectando esses pontos, percebemos que o triângulo está limitado pelas seguintes linhas:
- A linha de (0,0) a (3,3), que é a reta y = x.
- A linha de (3,3) a (0,4), que podemos encontrar a equação.
- A linha de (0,4) a (0,0), que é a reta x = 0.
Passo 3
Vamos encontrar a equação da reta que liga (3,3) a (0,4). Para isso, usamos a fórmula da inclinação (m):
Agora, usando a forma ponto-inclinação da equação da reta, com o ponto (3,3):
Então, a equação da reta é
.
Passo 4
Para configurar a integral dupla, precisamos determinar os limites de integração para x e y. Observando o triângulo:
- O valor de x varia de 0 a 3.
- Para cada x entre 0 e 3, y varia desde a reta inferior
até a reta superior .
Passo 5
Agora, montamos a integral dupla para calcular a área A®:
Resposta
A área de
pode ser expressa como a integral iterada dupla: