Calcule as integrais duplas:
\iint_{B} x d x d y, sendo B o triângulo x \geqslant 0, y \geqslant 0 e x+y \leqslant 1.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Pede-se calcular a integral dupla \iint_{B} x\,dx\,dy.
  • A região B é o triângulo definido por x \geqslant 0,\qquad y \geqslant 0,\qquad x+y \leqslant 1.
  • Informações úteis extraídas da descrição da região:
    • Os vértices do triângulo são (0,0), (1,0) e (0,1).
    • Para qualquer ponto do triângulo, tanto x quanto y estão entre 0 e 1, com a reta x+y=1 como hipotenusa.
O objetivo: montar a integral dupla sobre B e calcular o valor numérico de \iint_{B} x\,dx\,dy.

Passo 2

Escolher uma ordem de integração e escrever os limites. Explicando a ideia de forma simples:
  • Para integrar sobre uma região planificada como um triângulo, é comum fixar uma coordenada e expressar os limites da outra em função dela.
  • Aqui escolho integrar primeiro em y (variação vertical) e depois em x (variação horizontal). Essa é a opção mais direta porque, para um x fixo entre 0 e 1, y varia do eixo y=0 até a reta y=1-x.
Portanto os limites ficam:
0 \leqslant x \leqslant 1,\qquad 0 \leqslant y \leqslant 1-x.
A integral dupla escrita como integral iterada é
\iint_{B} x\,dx\,dy \;=\; \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{1-x} x\,dy\right)dx.
Observação didática rápida: isso é permitido porque a função x é contínua no triângulo B, então podemos usar integração iterada (teorema de Fubini) sem problemas.

Passo 3

Calcular a integral interna em y. Ensinar o passo:
  • A integral interna é \int_{y=0}^{1-x} x\,dy.
  • Aqui x é tratado como constante quando integramos em relação a y.
  • A primitiva de uma constante x em relação a y é x y.
Portanto
\int_{y=0}^{1-x} x\,dy = x\,y\Big|_{y=0}^{y=1-x} = x(1-x) - x\cdot 0 = x(1-x).
Explicação extra (para fixar): integrar uma constante c em y c\cdot y. Aqui c=x, então dá x\cdot y.

Passo 4

Agora integrar em x o resultado obtido. Montamos a integral unidimensional:
\iint_{B} x\,dx\,dy = \int_{0}^{1} x(1-x)\,dx.
Para facilitar, expandimos x(1-x):
x(1-x) = x - x^2.
Logo precisamos calcular
\int_{0}^{1} (x - x^2)\,dx.

Passo 5

Calcular as primitivas e avaliar nos limites:
  • A primitiva de x é \dfrac{x^2}{2}.
  • A primitiva de x^2 é \dfrac{x^3}{3}.
Assim
\int_{0}^{1} (x - x^2)\,dx = \left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right)\Big|_{0}^{1} = \left(\frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3}\right) - \left(0 - 0\right).
Calculemos:
\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}.

Passo 6

Checagem rápida (intuitiva) para ganhar confiança:
  • A área do triângulo B é \dfrac{1\cdot 1}{2}=\dfrac{1}{2}.
  • O valor da integral \iint_B x\,dA dividido pela área dá a média de x sobre B: \dfrac{1/6}{1/2}= \dfrac{1}{3}.
  • Faz sentido: em um triângulo simétrico em relação à diagonal x=y, a média de x é 1/3 (isso confirma o resultado).

Resposta

\dfrac{1}{6}

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