Calcule as integrais duplas: \iint_{B} x d x d y, sendo B o triângulo x \geqslant 0, y \geqslant 0 e x+y \leqslant 1.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos.
Pede-se calcular a integral dupla \iint_{B} x\,dx\,dy.
A região B é o triângulo definido porx \geqslant 0,\qquad y \geqslant 0,\qquad x+y \leqslant 1.
Informações úteis extraídas da descrição da região:
Os vértices do triângulo são (0,0), (1,0) e (0,1).
Para qualquer ponto do triângulo, tanto x quanto y estão entre 0 e 1, com a reta x+y=1 como hipotenusa.
O objetivo: montar a integral dupla sobre B e calcular o valor numérico de \iint_{B} x\,dx\,dy.
Passo 2
Escolher uma ordem de integração e escrever os limites. Explicando a ideia de forma simples:
Para integrar sobre uma região planificada como um triângulo, é comum fixar uma coordenada e expressar os limites da outra em função dela.
Aqui escolho integrar primeiro em y (variação vertical) e depois em x (variação horizontal). Essa é a opção mais direta porque, para um x fixo entre 0 e 1, y varia do eixo y=0 até a reta y=1-x.
Portanto os limites ficam:
0 \leqslant x \leqslant 1,\qquad 0 \leqslant y \leqslant 1-x.
Observação didática rápida: isso é permitido porque a função x é contínua no triângulo B, então podemos usar integração iterada (teorema de Fubini) sem problemas.
Passo 3
Calcular a integral interna em y. Ensinar o passo:
A integral interna é \int_{y=0}^{1-x} x\,dy.
Aqui x é tratado como constante quando integramos em relação a y.
A primitiva de uma constante x em relação a y é x y.