Calcule as integrais duplas:
\iint_{B} x^{3} y d x d y, sendo B o retangulo 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{B} x^{3}y\,dx\,dy,
onde B é o retângulo dado por
0 \leqslant x \leqslant 1,\qquad 0 \leqslant y \leqslant 1.
Informações relevantes que temos:
  • A região B é um retângulo simples em que os limites de x e y são independentes e fixos.
  • A função integranda é x^{3}y.
  • A pergunta é somente o valor numérico da integral dupla sobre B.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (curta): como a região é um retângulo e a função x^{3}y é contínua em B, podemos usar o Teorema de Fubini para transformar a integral dupla em uma integral iterada. Além disso, a função é separável no produto de uma função só de x e outra só de y:
x^{3}y = \bigl(x^{3}\bigr)\cdot\bigl(y\bigr).
Nessas condições, a integral dupla pode ser calculada como uma integral iterada na ordem que quisermos; por exemplo integrar primeiro em y e depois em x:
\iint_{B} x^{3}y\,dx\,dy = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{1} x^{3}y\,dy\right)dx.

Passo 3

Calcular a integral interna (integrando em y, com x tratado como constante).
Regra usada: para n\neq -1, \displaystyle\int y^{n}\,dy=\dfrac{y^{n+1}}{n+1}. No caso de y linear, \displaystyle\int y\,dy=\dfrac{y^{2}}{2}.
Como x^{3} é constante em relação a y,
\int_{y=0}^{1} x^{3}y\,dy = x^{3}\int_{0}^{1} y\,dy = x^{3}\left[\dfrac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1}.
Avaliação do parêntese:
\left[\dfrac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1^{2}}{2}-\dfrac{0^{2}}{2} = \dfrac{1}{2}.
Portanto a integral interna vale
\int_{y=0}^{1} x^{3}y\,dy = x^{3}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{x^{3}}{2}.

Passo 4

Agora integramos a expressão resultante em x no intervalo de 0 a 1.
Regra usada: para n\neq -1, \displaystyle\int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Aqui n=3, então \displaystyle\int x^{3}\,dx=\dfrac{x^{4}}{4}.
Temos
\int_{x=0}^{1} \dfrac{x^{3}}{2}\,dx = \dfrac{1}{2}\int_{0}^{1} x^{3}\,dx = \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1}.
Avaliação do colchete:
\left[\dfrac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1^{4}}{4}-\dfrac{0^{4}}{4} = \dfrac{1}{4}.
Logo
\int_{x=0}^{1} \dfrac{x^{3}}{2}\,dx = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{8}.

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, útil na prova): como o integrando é produto de uma função só de x por uma só de y, sobre um retângulo a integral dupla é o produto das integrais simples:
\iint_{B} x^{3}y\,dx\,dy = \left(\int_{0}^{1} x^{3}\,dx\right)\left(\int_{0}^{1} y\,dy\right).
Calculando cada uma:
\int_{0}^{1} x^{3}\,dx = \dfrac{1}{4},\qquad \int_{0}^{1} y\,dy = \dfrac{1}{2},
produto:
\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8},
que confirma o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{1}{8}

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