Calcule as integrais duplas:
, sendo
o retangulo
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o retângulo dado por
Informações relevantes que temos:
- A região
é um retângulo simples em que os limites de e são independentes e fixos. - A função integranda é
. - A pergunta é somente o valor numérico da integral dupla sobre
.
Passo 2
Escolha do método e justificativa (curta): como a região é um retângulo e a função
é contínua em
, podemos usar o Teorema de Fubini para transformar a integral dupla em uma integral iterada. Além disso, a função é separável no produto de uma função só de
e outra só de
:
Nessas condições, a integral dupla pode ser calculada como uma integral iterada na ordem que quisermos; por exemplo integrar primeiro em
e depois em
:
Passo 3
Calcular a integral interna (integrando em
, com
tratado como constante).
Regra usada: para ,
. No caso de
linear,
.
Como é constante em relação a
,
Regra usada: para
Como
Avaliação do parêntese:
Portanto a integral interna vale
Passo 4
Agora integramos a expressão resultante em
no intervalo de
a
.
Regra usada: para ,
. Aqui
, então
.
Temos
Regra usada: para
Temos
Avaliação do colchete:
Logo
Passo 5
Verificação alternativa (opcional, útil na prova): como o integrando é produto de uma função só de
por uma só de
, sobre um retângulo a integral dupla é o produto das integrais simples:
Calculando cada uma:
produto:
que confirma o resultado anterior.