Dada a função f=f(x, y) abaixo, determine seus pontos críticos, aplique a condição necessária para determinar os candidatos a máximo e mínimo de f e aplique a condição suciciente para determinar os pontos de máximo e mínimo locais de f :
f(x, y)=x^{2}-4 x y+4 y^{2}-x+3 y+1

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}-4xy+4y^{2}-x+3y+1.
Pede-se:
  • Determinar os pontos críticos de f.
  • Aplicar a condição necessária para encontrar candidatos a máximos e mínimos (ou seja, resolver \nabla f=0).
  • Aplicar a condição suficiente (teste da Hessiana) para identificar quais candidatos são máximos ou mínimos locais.
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de f(x,y) (polinomial quadrática em x,y) e nenhuma outra restrição sobre o domínio (assume-se domínio \mathbb{R}^2).

Passo 2

Cálculo das derivadas parciais (isso é a regra para montar o gradiente; a condição necessária para extremos diz que nos candidatos o gradiente deve ser o vetor zero). Explico rapidinho: a derivada parcial de f em relação a x trata y como constante, e a derivada parcial em relação a y trata x como constante.
As derivadas parciais são:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x-4y-1,
\frac{\partial f}{\partial y}=-4x+8y+3.
O gradiente é o vetor
\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix}2x-4y-1\\[4pt]-4x+8y+3\end{pmatrix}.]

Passo 3

Aplicando a condição necessária ( \nabla f=0\)), devemos resolver o sistema linear \[\begin{cases} 2x-4y-1=0,\\[4pt] -4x+8y+3=0. \end{cases}
Vou manipular as equações com passos claros. Da primeira equação:
2x-4y=1 \quad\Rightarrow\quad x-2y=\tfrac{1}{2}.
Multiplicando essa última por -4\] (apenas para comparar com a segunda) dá \[-4x+8y=-2.\] Mas a segunda equação do sistema exige \[-4x+8y=-3.\] Comparando, obtemos as duas condições contraditórias \(-4x+8y=-2 e -4x+8y=-3 ao mesmo tempo, o que é impossível. Portanto o sistema é inconsistente: não existe par (x,y) que anule simultaneamente as duas derivadas parciais.
Conclusão parcial: não existem pontos (x,y) tais que \nabla f(x,y)=0. Ou seja, não há pontos críticos estacionários na forma usual (gradiente nulo).]

Passo 4

Mesmo sem pontos com gradiente zero, devo aplicar o teste da Hessiana (condição suficiente) para ver se haveria alguma possibilidade de extremos locais associados a pontos críticos. Primeiro calculo a matriz Hessiana (matriz de segundas derivadas):
H(x,y)=\begin{pmatrix} \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\\[4pt] \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -4\\[4pt] -4 & 8 \end{pmatrix}.
Explicando o teste em 2 variáveis: para um ponto crítico p, se \det H(p)>0 e \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(p)>0 então p é mínimo local; se \det H(p)>0 e \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(p)<0 então p é máximo local; se \det H(p)<0 então p é ponto de sela; se \det H(p)=0 o teste é inconclusivo.
Aqui
\det H = 2\cdot 8 - (-4)\cdot(-4)=16-16=0,
e \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=2>0. Como \det H=0, o teste da Hessiana é inconclusivo (não permite afirmar máximo, mínimo ou sela a partir daí).]

Passo 5

Quando o teste da Hessiana é inconclusivo (determinante zero) e/ou não há pontos com \nabla f=0, é útil analisar o comportamento da função ao longo das direções do núcleo da Hessiana. Vou encontrar o núcleo de H (direção onde a parte quadrática se anula) e ver o comportamento de f nessa reta.
Resolver H\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=0
2x-4y=0 \quad\Rightarrow\quad x=2y.
Logo o núcleo é a reta de pontos (x,y)=(2t,t), t\in\mathbb{R}. Vou restringir f a essa reta (substituir x=2t,\;y=t):
f(2t,t)=(2t)^{2}-4(2t)(t)+4t^{2}-(2t)+3t+1.
Calculo passo a passo:
(2t)^{2}=4t^{2},\qquad -4(2t)t=-8t^{2},\qquad 4t^{2}=4t^{2},
então os termos quadráticos cancelam:
4t^{2}-8t^{2}+4t^{2}=0.
Sobram os termos lineares e constantes:
f(2t,t)= -2t+3t+1 = t+1.
Isto é muito revelador: ao longo da reta x=2y a função reduz-se à função linear t\mapsto t+1. Uma função linear não tem mínimo nem máximo global ao longo de toda reta: quando t\to -\infty tem f(2t,t)\to -\infty e quando t\to +\infty tem f(2t,t)\to +\infty. Portanto f é não acotada inferior e superior ao longo dessa direção.

Passo 6

Concluindo a análise:
  • Não existe (x,y) com \nabla f(x,y)=0, logo não há pontos críticos estacionários para testar como candidatos a extremos.
  • A Hessiana é semidefinida positiva ( H tem autovalores 0 e 10), o que por si só não garante mínimo porque o caso semidefinido com termo linear não nulo pode causar direção de decrescimento indefinido. De fato, restringindo à direção do núcleo ( x=2y) obteve-se f(2t,t)=t+1, não acotada, logo não há mínimo nem máximo local (nem global) decorrente de um ponto estacionário, porque simplesmente não existem pontos com gradiente nulo; além disso, a função vai a -\infty em algumas direções.

Resposta

Pontos críticos: nenhum (o sistema \nabla f=0 é inconsistente).
Candidatos pelo teste necessário: nenhum.
Teste suficiente / extremos locais: nenhum ponto de máximo ou mínimo local (a Hessiana tem \det H=0 e, analisando a direção x=2y, f(2t,t)=t+1 mostra que f é não acotada, logo não há extremos locais).

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