Calcule as integrais duplas: \iint_{B} x \ln y d x d y, sendo B o retângulo 0 \leqslant x \leqslant 2,1 \leqslant y \leqslant 2.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{B} x \ln y \, dx\, dy,
onde B é o retângulo dado por
0 \leqslant x \leqslant 2,
1 \leqslant y \leqslant 2.
Ou seja, a única pergunta é: qual é o valor numérico da integral dupla acima, usando as informações do retângulo B.
Passo 2
Observação sobre método: a função f(x,y)=x\ln y é contínua em B (produto de funções contínuas em um retângulo), então podemos aplicar o Teorema de Fubini e calcular a integral dupla como uma integral iterada. O Teorema de Fubini, dito de forma simples, garante que
\iint_{B} x\ln y \, dx\,dy = \int_{y=1}^{2}\!\!\left(\int_{x=0}^{2} x\ln y \, dx\right) dy = \int_{x=0}^{2}\!\!\left(\int_{y=1}^{2} x\ln y \, dy\right) dx,
e que é permitido trocar a ordem de integração. Aqui é conveniente usar a ordem dx\,dy e notar que, ao integrar em x primeiro, \ln y é constante em relação a x.
Passo 3
Usando a propriedade de separação (pois x\ln y = x\cdot\ln y) podemos escrever
\iint_{B} x\ln y \, dx\,dy = \int_{1}^{2}\left(\int_{0}^{2} x\ln y \, dx\right) dy = \int_{1}^{2} (\ln y)\left(\int_{0}^{2} x \, dx\right) dy.
Aqui foi usada a propriedade: se numa integral em x uma expressão depende apenas de y, ela pode ser tratada como constante ao integrar em x.
Passo 4
Calcular a integral em x:
\int_{0}^{2} x \, dx.
A primitiva de x é \dfrac{x^{2}}{2}. Portanto,
\int_{0}^{2} x \, dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{2} = \frac{2^{2}}{2}-0 = \frac{4}{2}=2.
Passo 5
Substituindo o resultado anterior, a integral dupla fica
\iint_{B} x\ln y \, dx\,dy = \left(\int_{0}^{2} x\,dx\right)\left(\int_{1}^{2} \ln y \, dy\right) = 2\cdot\int_{1}^{2} \ln y \, dy.
Agora precisamos calcular \int_{1}^{2} \ln y \, dy. Para integrar \ln y usamos integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolhemos u=\ln y (porque sua derivada simplifica) e dv=dy. Então
du = \dfrac{1}{y}\,dy,
v = y.
Aplicando a fórmula:
\int \ln y \, dy = y\ln y - \int y\cdot\frac{1}{y}\,dy = y\ln y - \int 1\,dy = y\ln y - y + C.
Agora avaliamos de 1 a 2:
\int_{1}^{2} \ln y \, dy = \left.(y\ln y - y)\right|_{1}^{2} = (2\ln 2 - 2) - (1\cdot\ln 1 - 1).
Logo o resultado é positivo e coerente com os cálculos analíticos.
Passo 8
Resumo pedagógico curto: a ideia principal foi reconhecer que x\ln y se separa em função de x vezes função de y, aplicar Fubini para transformar a dupla em produto de integrais simples, calcular \int x\,dx diretamente e \int \ln y\,dy por partes. Fica tranquilo — esse tipo de integral aparece muito em provas e sempre que a função se separar assim o cálculo fica bem direto.