Calcule as integrais duplas.
$(a) a

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o exercício mandou. A questão envolve cálculo integral, especificamente integrais duplas. A gente vai precisar entender como configurar os limites de integração e integrar a função dada sobre a região .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Ela é definida por:
Isso significa que varia de 1 a 2 e, para cada , varia de 0 até o dobro de .

Passo 3

A função que vamos integrar é:
Como a função pode ser separada em uma parte que depende só de e outra que depende só de , podemos integrar primeiro em relação a .

Passo 4

Vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
Aqui, fixamos e integramos em de 0 a .

Passo 5

Vamos integrar a função interna em relação a :
Como é uma constante em relação a , podemos tirar para fora da integral:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :
Então, a integral interna fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a :
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Deixe , então:
Substituindo na integral:

Passo 8

Voltando para :
Agora, avaliamos de a :

Resposta

A integral dupla vale .

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