Calcule as integrais duplas.
$(a)
$(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o exercício mandou. A questão envolve cálculo integral, especificamente integrais duplas. A gente vai precisar entender como configurar os limites de integração e integrar a função dada sobre a região
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. Ela é definida por:
Isso significa que
varia de 1 a 2 e, para cada
,
varia de 0 até o dobro de
.
Passo 3
A função que vamos integrar é:
Como a função pode ser separada em uma parte que depende só de
e outra que depende só de
, podemos integrar primeiro em relação a
.
Passo 4
Vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
Aqui, fixamos
e integramos em
de 0 a
.
Passo 5
Vamos integrar a função interna em relação a
:
Como
é uma constante em relação a
, podemos tirar para fora da integral:
Passo 6
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Então, a integral interna fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a
:
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Deixe
, então:
Substituindo na integral:
Passo 8
Voltando para
:
Agora, avaliamos de
a
:
Resposta
A integral dupla vale
.