Calcule as integrais duplas.
$(d) d

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla de sobre a região , que é definida por e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de integrais duplas do cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . A desigualdade significa que para cada valor de , varia de 0 até . E varia de 0 até 4. Então, podemos configurar a integral dupla assim:

Passo 3

Vamos resolver a integral interna, que é a integral em relação a :
Aqui, é uma constante em relação a , então podemos tirá-lo de fora da integral:
Para integrar em relação a , fazemos uma substituição simples. A integral de em relação a é . Então:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Primeira integral:
Fazemos a substituição , então ou . Assim:
Segunda integral:
Agora, avaliamos os limites de 0 a 4 para cada parte:

Resposta

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