Calcule as integrais duplas.
$(d)
$(d)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é definida por
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de integrais duplas do cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. A desigualdade
significa que para cada valor de
,
varia de 0 até
. E
varia de 0 até 4. Então, podemos configurar a integral dupla assim:
Passo 3
Vamos resolver a integral interna, que é a integral em relação a
:
Aqui,
é uma constante em relação a
, então podemos tirá-lo de fora da integral:
Para integrar
em relação a
, fazemos uma substituição simples. A integral de
em relação a
é
. Então:
Passo 4
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Primeira integral:
Fazemos a substituição
, então
ou
. Assim:
Segunda integral:
Agora, avaliamos os limites de 0 a 4 para cada parte: