Calcule as integrais duplas.
$(e) e

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o exercício pediu. A questão está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e escolher a melhor ordem para integrar as funções envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região sobre a qual estamos integrando. A região é definida por:
Isso significa que varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de 0 até . Então, podemos visualizar essa região como um triângulo no primeiro quadrante onde a linha é a fronteira superior.

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla com os limites definidos:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a de 0 a , e depois em relação a de 0 a 1.

Passo 4

Vamos focar na integral interna:
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição trigonométrica. Vamos deixar , o que implica que . Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, resolvemos a integral resultante:
Podemos fazer uma substituição simples: deixe , então . A integral fica:
Voltando para :

Passo 6

Aplicando os limites de integração de correspondentes a e :
  • Quando ,
  • Quando ,
A integral interna avaliada fica:

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resolvendo essa integral:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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