Calcule as integrais duplas.
$(e)
$(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o exercício pediu. A questão está dentro do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e escolher a melhor ordem para integrar as funções envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
sobre a qual estamos integrando. A região é definida por:
Isso significa que
varia de 0 a 1, e para cada valor de
,
varia de 0 até
. Então, podemos visualizar essa região como um triângulo no primeiro quadrante onde a linha
é a fronteira superior.
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral dupla com os limites definidos:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a
de 0 a
, e depois em relação a
de 0 a 1.
Passo 4
Vamos focar na integral interna:
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição trigonométrica. Vamos deixar
, o que implica que
. Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, resolvemos a integral resultante:
Podemos fazer uma substituição simples: deixe
, então
. A integral fica:
Voltando para
:
Passo 6
Aplicando os limites de integração de
correspondentes a
e
:
- Quando
, ⇒ - Quando
, ⇒
A integral interna avaliada fica:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resolvendo essa integral:
Resposta
O valor da integral dupla é
.