Calcule as integrais iteradas.
$(b)
$(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla:
Aqui, estamos lidando com integrais iteradas, que envolvem duas integrais: uma interna e uma externa. Vamos precisar conhecer as regras de integração e como trabalhar com limites de integração.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a integral interna, que é em relação a
. A integral interna é:
Isso significa que, para cada valor de
entre 0 e 1, vamos integrar a função
em relação a
, de
a
.
Passo 3
Vamos calcular a integral interna passo a passo. Primeiro, integramos
em relação a
:
Em seguida, integramos
em relação a
:
Então, a integral interna completa fica:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de
.
Substituímos
por
:
E depois substituímos
por
:
Agora subtraímos as duas expressões:
Então, a integral interna resulta em
.
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos integrar cada termo separadamente. Primeiro, integramos
:
Depois, integramos
:
Então, a expressão integrada fica:
Passo 6
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de
de 0 a 1.
Substituímos
por 1:
E substituímos
por 0:
Então, a diferença é:
Resposta
A integral dupla é igual a
.