Calcule as integrais iteradas.
$(b) b

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla:
Aqui, estamos lidando com integrais iteradas, que envolvem duas integrais: uma interna e uma externa. Vamos precisar conhecer as regras de integração e como trabalhar com limites de integração.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a integral interna, que é em relação a . A integral interna é:
Isso significa que, para cada valor de entre 0 e 1, vamos integrar a função em relação a , de a .

Passo 3

Vamos calcular a integral interna passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Em seguida, integramos em relação a :
Então, a integral interna completa fica:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de .
Substituímos por :
E depois substituímos por :
Agora subtraímos as duas expressões:
Então, a integral interna resulta em .

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos integrar cada termo separadamente. Primeiro, integramos :
Depois, integramos :
Então, a expressão integrada fica:

Passo 6

Agora, avaliamos essa expressão nos limites de de 0 a 1.
Substituímos por 1:
E substituímos por 0:
Então, a diferença é:

Resposta

A integral dupla é igual a .

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