Calcule as integrais duplas.
\iint_{D}\left(1+x^{2}+y^{2}\right) d A, onde D é o setor do primeiro quadrante limitado por y=0, y=x, e x^{2}+y^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D}\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA
onde D é o setor no primeiro quadrante limitado por y=0, y=x e x^{2}+y^{2}=4.
Para regiões circulares em setores, o mais natural é usar coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad dA=r\,dr\,d\theta.
No primeiro quadrante entre y=0 (isto é, \theta=0) e y=x (isto é, \theta=\pi/4), e da origem até o círculo de raio 2. Logo
0\le\theta\le\frac{\pi}{4}, \quad 0\le r\le 2.
Além disso, x^{2}+y^{2}=r^{2}, então a integranda fica 1+r^{2}.

Passo 3

Montamos a integral em polares:
\iint_{D}(1+x^{2}+y^{2})\,dA =\int_{\theta=0}^{\pi/4}\int_{r=0}^{2}(1+r^{2})\,r\,dr\,d\theta.
Dentro, (1+r^{2})\,r = r + r^{3}. Integramos em r:
\int_{0}^{2}(r + r^{3})\,dr =\left[\frac{r^{2}}{2}+\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{2} =\frac{2^{2}}{2}+\frac{2^{4}}{4} =2+4 =6.

Passo 4

Sobrou a integral em \theta:
\int_{0}^{\pi/4}6\,d\theta =6\left[\theta\right]_{0}^{\pi/4} =6\cdot\frac{\pi}{4} =\frac{3\pi}{2}.

Resposta

\frac{3\pi}{2}

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