Calcule as integrais duplas.
, onde
é o setor do primeiro quadrante limitado por
,
, e
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde
é o setor no primeiro quadrante limitado por
,
e
.
Para regiões circulares em setores, o mais natural é usar coordenadas polares.
Para regiões circulares em setores, o mais natural é usar coordenadas polares.
Passo 2
Em coordenadas polares definimos
No primeiro quadrante entre
(isto é,
) e
(isto é,
), e da origem até o círculo de raio
. Logo
Além disso,
, então a integranda fica
.
Passo 3
Montamos a integral em polares:
Dentro,
. Integramos em
:
Passo 4
Sobrou a integral em
: