Calcule as integrais duplas.
\iint_{D} e^{x^{2}+2 y^{2}} d A, onde D é a região contida no círculo x^{2}+y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} e^{x^{2}+2y^{2}}\,dA,
onde D é o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le1\}.
O conteúdo principal aqui é mudança para coordenadas polares, onde
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
e o elemento de área vira dA = r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x^{2}+2y^{2} = r^{2}\cos^{2}\theta + 2\,r^{2}\sin^{2}\theta = r^{2}\bigl(\cos^{2}\theta + 2\sin^{2}\theta\bigr) = r^{2}\bigl(1 + \sin^{2}\theta\bigr).
O domínio D vira 0\le r\le1, 0\le\theta\le2\pi. Logo
\iint_{D} e^{x^{2}+2y^{2}}\,dA = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1} e^{r^{2}(1+\sin^{2}\theta)}\,r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Para um \theta fixo, calcule
\int_{0}^{1} r\,e^{a\,r^{2}}\,dr,
onde a = 1+\sin^{2}\theta. Use a substituição u = r^{2}, du = 2r\,dr:
\int_{0}^{1} r\,e^{a\,r^{2}}\,dr = \frac12\int_{0}^{1} e^{a\,u}\,du = \frac{1}{2a}\bigl(e^{a}-1\bigr).

Passo 4

Substituindo de volta em \theta, obtemos
\iint_{D} e^{x^{2}+2y^{2}}\,dA = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2\bigl(1+\sin^{2}\theta\bigr)} \Bigl(e^{\,1+\sin^{2}\theta}-1\Bigr) \,d\theta.

Resposta

\boxed{ \iint_{D} e^{x^{2}+2y^{2}}\,dA = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} \frac{e^{\,1+\sin^{2}\theta}-1}{1+\sin^{2}\theta} \,d\theta. }

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