Calcule as integrais duplas.
\iint_{D} 2 y d A, onde D é a região do primeiro quadrante limitada acima pelo círculo (x-1)^{2}+y^{2}=1 e abaixo pela reta y=x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} 2y\,dA
onde D é a região do primeiro quadrante limitada por cima pelo círculo
(x-1)^{2}+y^{2}=1
e por baixo pela reta
y=x.
O conteúdo aqui é integral dupla em coordenadas cartesianas sobre uma região plana descrita por curvas.

Passo 2

Precisamos determinar a projeção de D no eixo x. Para isso, achamos onde o círculo e a reta se intersectam, resolvendo
(x-1)^{2}+x^{2}=1.
Expandindo e simplificando:
x^{2}-2x+1 + x^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad 2x^{2}-2x=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x(x-1)=0
Logo, x=0 ou x=1. Esses são os limites em x.

Passo 3

Para cada x\in[0,1], y varia de y=x (reta) até
y=\sqrt{\,1-(x-1)^{2}\,}
(semicírculo superior). Assim escrevemos a integral iterada:
\iint_{D}2y\,dA =\int_{x=0}^{1}\Bigl(\int_{y=x}^{\sqrt{1-(x-1)^{2}}}2y\,dy\Bigr)\,dx.

Passo 4

Calculamos a integral interna em y:
\int_{y=x}^{\sqrt{1-(x-1)^{2}}}2y\,dy =\bigl[y^{2}\bigr]_{y=x}^{y=\sqrt{1-(x-1)^{2}}} =\bigl(1-(x-1)^{2}\bigr)-x^{2}.
Simplificando
1-(x^{2}-2x+1)-x^{2} =-x^{2}+2x -x^{2} =2x(1-x).

Passo 5

Agora integramos em x:
\int_{0}^{1}2x(1-x)\,dx =2\int_{0}^{1}(x - x^{2})\,dx =2\Bigl[\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1} =2\Bigl(\frac12-\frac13\Bigr) =2\cdot\frac{1}{6} =\frac{1}{3}.

Resposta

\iint_{D}2y\,dA=\frac{1}{3}.

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