Calcule as integrais duplas.
, onde
é a região do primeiro quadrante limitada acima pelo círculo
e abaixo pela reta
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região do primeiro quadrante limitada por cima pelo círculo
e por baixo pela reta
O conteúdo aqui é integral dupla em coordenadas cartesianas sobre uma região plana descrita por curvas.
Passo 2
Precisamos determinar a projeção de
no eixo
. Para isso, achamos onde o círculo e a reta se intersectam, resolvendo
Expandindo e simplificando:
Logo,
ou
. Esses são os limites em
.
Passo 3
Para cada
,
varia de
(reta) até
(semicírculo superior). Assim escrevemos a integral iterada:
Passo 4
Calculamos a integral interna em
:
Simplificando
Passo 5
Agora integramos em
: