Resolver as integrais a seguir, apresentando o desenvolvimento de forma organizada:
\left(1,5\right. ponto) \int \frac{e^{1 / x}+5}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{e^{1/x}+5}{x^{2}}\,dx
O conteúdo principal é integração por substituição. Vamos identificar uma parte cuja derivada apareça no integrando para simplificar.

Passo 2

Observe que se fizermos
u = \frac{1}{x},
então
du = -\frac{1}{x^{2}}\,dx \quad\Longrightarrow\quad -\!du = \frac{1}{x^{2}}\,dx.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \frac{e^{1/x}+5}{x^{2}}\,dx =\int \bigl(e^{u}+5\bigr)\,\frac{1}{x^{2}}\,dx =\int \bigl(e^{u}+5\bigr)(-\,du) =-\int e^{u}\,du \;-\;5\int du.

Passo 4

Agora calculamos cada parcela:
-\int e^{u}\,du = -\,e^{u}, \qquad -5\int du = -5\,u.
Logo a primitiva em termos de u é
-e^{u}-5\,u + C.
Voltando a variável x com u=1/x, obtemos
-e^{1/x}-\frac{5}{x}+C.

Resposta

-e^{1/x}-\frac{5}{x}+C.

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