Use a integração dupla para achar o volume do sólido.
O sólido
acima do plano
limitado pelo paraboloide
e pelo cilindro
.
O sólido
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido
que fica acima do plano
, limitado por baixo pelo plano
, por cima pelo paraboloide
e lateralmente pelo cilindro projetado no plano
dado por
. O conteúdo principal é calcular uma integral dupla em coordenadas polares para achar esse volume.
Passo 2
Em geral, o volume de
é
onde
é a região no plano
interior à curva
Passo 3
Passamos a coordenadas polares:
A curva
vira
Como
implica
, temos
. Logo
Passo 4
Escrevemos o volume em polares:
Passo 5
Integramos em
:
Logo
Passo 6
Para
usamos a identidade
Integrando de
a
,
Portanto
Resposta
O volume do sólido é
.