Use a integração dupla para achar o volume do sólido.
O sólido W acima do plano x y limitado pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2} e pelo cilindro x^{2}+y^{2}=2 y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido W que fica acima do plano xy, limitado por baixo pelo plano z=0, por cima pelo paraboloide z=x^{2}+y^{2} e lateralmente pelo cilindro projetado no plano xy dado por x^{2}+y^{2}=2y. O conteúdo principal é calcular uma integral dupla em coordenadas polares para achar esse volume.

Passo 2

Em geral, o volume de W é
V=\iint_{D} \bigl(\text{altura em }z\bigr)\,dA =\iint_{D} \bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dA,
onde D é a região no plano xy interior à curva
x^{2}+y^{2}=2y.

Passo 3

Passamos a coordenadas polares:
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta, \quad x^{2}+y^{2}=r^{2}, \quad dA=r\,dr\,d\theta.
A curva x^{2}+y^{2}=2y vira
r^{2}=2r\sin\theta \;\Longrightarrow\; r=2\sin\theta\quad(r\ge0).
Como r\ge0 implica \sin\theta\ge0, temos \theta\in[0,\pi]. Logo
D=\bigl\{(r,\theta)\mid 0\le r\le 2\sin\theta,\;0\le\theta\le\pi\bigr\}.

Passo 4

Escrevemos o volume em polares:
V =\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{2\sin\theta} \bigl(r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\sin\theta}r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integramos em r:
\int_{0}^{2\sin\theta}r^{3}\,dr =\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{2\sin\theta} =\frac{(2\sin\theta)^{4}}{4} =\frac{16\sin^{4}\theta}{4} =4\sin^{4}\theta.
Logo
V=4\int_{0}^{\pi}\sin^{4}\theta\,d\theta.

Passo 6

Para \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin^{4}\theta\,d\theta usamos a identidade
\sin^{4}\theta =\frac{3-4\cos(2\theta)+\cos(4\theta)}{8}.
Integrando de 0 a \pi,
\int_{0}^{\pi}\sin^{4}\theta\,d\theta =\frac{1}{8}\int_{0}^{\pi}\bigl(3-4\cos(2\theta)+\cos(4\theta)\bigr)\,d\theta =\frac{1}{8}\bigl[3\pi-0+0\bigr] =\frac{3\pi}{8}.
Portanto
V =4\cdot\frac{3\pi}{8} =\frac{3\pi}{2}.

Resposta

O volume do sólido é \displaystyle\frac{3\pi}{2}.

Exercícios relacionados