Calcule as integrais duplas.
\iint_{D} e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} d A, onde D é a região contida no círculo x^{2}+y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} e^{-\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)} \,dA
onde D é o disco de raio 1 (ou seja, x^{2}+y^{2}\le1).
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas polares, usando x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e o jacobiano dA=r\,dr\,d\theta.

Passo 2

Em coordenadas polares, os limites são 0\le r\le1 e 0\le\theta\le2\pi. A integral vira:
\iint_{D} e^{-(x^{2}+y^{2})} \,dA = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1} e^{-r^{2}}\,r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Calcular primeiro a parte radial
\int_{0}^{1} r\,e^{-r^{2}}\,dr.
Fazendo u=r^{2}, temos du=2r\,dr, logo
\int_{0}^{1} r\,e^{-r^{2}}\,dr = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{-u}\,du = \frac{1}{2}\bigl[-e^{-u}\bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\bigl(1 - e^{-1}\bigr).

Passo 4

Agora a parte angular é
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Multiplicando as duas partes,
2\pi \times \frac{1}{2}\bigl(1 - e^{-1}\bigr) = \pi\bigl(1 - e^{-1}\bigr).

Resposta

\displaystyle \pi\bigl(1 - e^{-1}\bigr)

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