Use a integração dupla para achar o volume do sólido.
O sólido W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 25\right. e \left.x^{2}+y^{2} \geq 9\right\}.

Passo 1

O enunciado nos dá o sólido
W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^2+y^2+z^2\le25,\;x^2+y^2\ge9\}
e pede o volume usando integração dupla. O conteúdo necessário é a fórmula de volume via projeção no plano xy:
V = \iint_{D}(z_{\text{sup}} - z_{\text{inf}})\,dA,
onde D é a projeção de W no plano xy.

Passo 2

Identificamos que a projeção D é o anel
D = \{(x,y)\mid 9 \le x^2+y^2 \le 25\}.
Para cada (x,y) em D, os limites em z são dados pela esfera:
z_{\text{sup}} = +\sqrt{25 - (x^2+y^2)}, \quad z_{\text{inf}} = -\sqrt{25 - (x^2+y^2)}.
Logo,
V = \iint_{D} 2\sqrt{25 - (x^2+y^2)} \,dA.

Passo 3

Passamos a coordenadas polares (r,\theta), em que x^2+y^2 = r^2 e dA = r\,dr\,d\theta. Os limites são
3 \le r \le 5, \quad 0 \le \theta \le 2\pi.
Assim,
V = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{r=3}^{5} 2\sqrt{25 - r^2}\,r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calculemos a integral em r. Use a substituição u = 25 - r^2, logo du = -2r\,dr, e quando r=3 temos u=16, e quando r=5 temos u=0:
\int_{r=3}^{5} r\sqrt{25 - r^2}\,dr = \int_{u=16}^{0} \sqrt{u}\,\bigl(-\tfrac{du}{2}\bigr) = \tfrac12\int_{0}^{16} u^{1/2}\,du = \tfrac12\cdot \frac{u^{3/2}}{\tfrac32}\Bigg|_{0}^{16} = \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\,16^{3/2} = \frac{1}{3}\,64 = \frac{64}{3}.
Então
V = \int_{0}^{2\pi} 2\cdot \frac{64}{3}\,d\theta = \frac{128}{3}\int_{0}^{2\pi}d\theta = \frac{128}{3}\cdot 2\pi = \frac{256\pi}{3}.

Resposta

O volume do sólido é \displaystyle \frac{256\pi}{3}.

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