Exercicio 1. (2.5 pontos) Uma partícula realiza um percurso fechado composto por quatro trechos retilíneos no espaço tridimensional. Ela parte da origem, segue até o ponto ( 1,1,0 ), ern seguida alcança um ponto no plano z=1 cuja projeção sobre o plano x y tem coordenadas (3,2), depois alcança um ponto com mesma altura, coordenadas y=1 e x=2, e retorna ao ponto de partida. Durante esse trajeto, a partícula está submetida à ação de um campo de forças \vec{F}(x, y, z)=\left(z^{2}, 2 x y, 4 y^{2}\right).
(a) Determine uma equação para o plano que contém os quatro pontos especificados no enunciado.
(b) Determine o trabalho realizado no percurso.
Passo 1
O enunciado nos dá quatro pontos no espaço tridimensional por onde passa uma partícula em um percurso fechado: \;(0,0,0)\to(1,1,0)\to(3,2,1)\to(2,1,1)\to(0,0,0).
O campo de forças é
\vec F(x,y,z) = \bigl(z^2,\;2xy,\;4y^2\bigr).
Precisamos (a) achar a equação do plano que contém esses quatro pontos e (b) calcular o trabalho \displaystyle W = \oint_C \vec F\cdot d\vec r.
Passo 2
Para achar o plano usamos três pontos não colineares, por exemplo A=(0,0,0), B=(1,1,0) e C=(3,2,1).
Formamos dois vetores no plano:
\vec{AB} = B - A = (1,1,0), \quad \vec{AC} = C - A = (3,2,1).
O vetor normal \vec n ao plano é dado pelo produto vetorial