Exercicio 1. (2.5 pontos) Uma partícula realiza um percurso fechado composto por quatro trechos retilíneos no espaço tridimensional. Ela parte da origem, segue até o ponto ( 1,1,0 ), ern seguida alcança um ponto no plano z=1 cuja projeção sobre o plano x y tem coordenadas (3,2), depois alcança um ponto com mesma altura, coordenadas y=1 e x=2, e retorna ao ponto de partida. Durante esse trajeto, a partícula está submetida à ação de um campo de forças \vec{F}(x, y, z)=\left(z^{2}, 2 x y, 4 y^{2}\right).
(a) Determine uma equação para o plano que contém os quatro pontos especificados no enunciado.
(b) Determine o trabalho realizado no percurso.

Passo 1

O enunciado nos dá quatro pontos no espaço tridimensional por onde passa uma partícula em um percurso fechado:
\;(0,0,0)\to(1,1,0)\to(3,2,1)\to(2,1,1)\to(0,0,0).
O campo de forças é
\vec F(x,y,z) = \bigl(z^2,\;2xy,\;4y^2\bigr).
Precisamos (a) achar a equação do plano que contém esses quatro pontos e (b) calcular o trabalho
\displaystyle W = \oint_C \vec F\cdot d\vec r.

Passo 2

Para achar o plano usamos três pontos não colineares, por exemplo A=(0,0,0), B=(1,1,0) e C=(3,2,1).
Formamos dois vetores no plano:
\vec{AB} = B - A = (1,1,0), \quad \vec{AC} = C - A = (3,2,1).
O vetor normal \vec n ao plano é dado pelo produto vetorial
\vec n = \vec{AB}\times\vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&1&0\\\\ 3&2&1 \end{vmatrix} = (1,-1,-1).
Assim a equação ponto–normal do plano, usando o ponto A, é
\vec n\cdot\bigl(x-0,\;y-0,\;z-0\bigr)=0 \;\Longrightarrow\; x - y - z = 0.

Passo 3

Para calcular o trabalho fechamos o caminho em quatro segmentos retilíneos e somamos as quatro contribuições
\int \vec F\cdot d\vec r.
Segmento 1: (0,0,0)\to(1,1,0).
Parâmetro t\in[0,1], \vec r_1(t)=(t,t,0), d\vec r_1=(1,1,0)\,dt.
Em \vec F temos z=0,\;x=y=t, logo
\vec F_1(t) = (0,2t^2,4t^2), \quad \vec F_1\!\cdot d\vec r_1 = 2t^2\,dt.
Integramos:
\int_0^1 2t^2\,dt = \frac{2}{3}.

Passo 4

Segmento 2: (1,1,0)\to(3,2,1).
Parâmetro s\in[0,1], \vec r_2(s)=(1+2s,\,1+s,\,s), d\vec r_2=(2,1,1)\,ds.
Em \vec F:
\vec F_2(s) = \bigl(s^2,\;2(1+2s)(1+s),\;4(1+s)^2\bigr).
O produto escalar é
\vec F_2\!\cdot d\vec r_2 =2s^2 +2(1+2s)(1+s)+4(1+s)^2 =10s^2+14s+6,
e
\int_0^1 (10s^2+14s+6)\,ds = \frac{10}{3} + 7 + 6 = \frac{49}{3}.

Passo 5

Segmento 3: (3,2,1)\to(2,1,1).
Parâmetro u\in[0,1], \vec r_3(u)=(3-u,\,2-u,\,1), d\vec r_3=(-1,-1,0)\,du.
Em \vec F:
\vec F_3(u) = \bigl(1,\;2(3-u)(2-u),\;4(2-u)^2\bigr).
O escalar é
\vec F_3\!\cdot d\vec r_3 =-1 -2(3-u)(2-u) =-13 +10u -2u^2,
\int_0^1(-13+10u-2u^2)\,du = -\frac{26}{3}.

Passo 6

Segmento 4: (2,1,1)\to(0,0,0).
Parâmetro t\in[0,1], \vec r_4(t)=(2-2t,\,1-t,\,1-t),
d\vec r_4=(-2,-1,-1)\,dt.
Em \vec F:
\vec F_4(t) = \bigl((1-t)^2,\;2(2-2t)(1-t),\;4(1-t)^2\bigr).
O escalar é
\vec F_4\!\cdot d\vec r_4 =-10 +20t -10t^2,
\int_0^1(-10+20t-10t^2)\,dt = -\frac{10}{3}.

Passo 7

Somando as quatro integrais:
W = \frac{2}{3} + \frac{49}{3} - \frac{26}{3} - \frac{10}{3} = \frac{2+49-26-10}{3} = \frac{15}{3} =5.

Resposta

(a) x - y - z = 0
(b) W = 5

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