Calcule as integrais duplas.
\iint_{D} x \cos y d A ; D é a região triangular delimitada pelas retas y=x, y=0 e x=\pi.

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla
\iint_{D} x\cos y\,dA
onde D é o triângulo limitado por y=0, y=x e x=\pi.
O conteúdo envolve integrais duplas em regiões do tipo I (região “acima” de y=0 até y=x) e depois uma integral simples para \int x\sin x\,dx.

Passo 2

Descrevemos D como
0 \le x \le \pi,\quad 0 \le y \le x
e aplicamos Fubini para escrever
\iint_{D} x\cos y\,dA =\int_{x=0}^{\pi}\Bigl(\int_{y=0}^{x} x\cos y\,dy\Bigr)dx.

Passo 3

Na integral interna y\mapsto x\cos y, tratamos x como constante:
\int_{0}^{x} x\cos y\,dy = x\bigl[\sin y\bigr]_{0}^{x} = x\sin x.

Passo 4

Substituindo, sobra a integral em x:
\int_{0}^{\pi} x\sin x\,dx.
Fazendo integração por partes, tome u=x, dv=\sin x\,dx, então du=dx, v=-\cos x.
\int x\sin x\,dx =-x\cos x+\int\cos x\,dx =-x\cos x+\sin x.
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\int_{0}^{\pi} x\sin x\,dx =\bigl(-x\cos x+\sin x\bigr)\Big|_{0}^{\pi} =(-\pi\cos\pi+\sin\pi)-0 =\pi.

Resposta

\displaystyle \pi

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