Calcule as integrais duplas:
, onde
é a região limitada por
e
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dado o integrando
. - Dada a região
limitada pelas curvas e . - Pede-se calcular a integral dupla
Informações relevantes a usar mais adiante: as duas curvas que limitam
(uma é uma reta e a outra uma parábola) e que a região é a parte comum entre elas. Precisaremos determinar onde elas se encontram e qual fica acima da outra para montar os limites de integração.
Passo 2
Achar os pontos de interseção das curvas substituindo uma na outra. Igualamos
e
:
Resolvendo,
logo os pontos de interseção têm abscissas
e
. Para cada
correspondente, as ordenadas são
(ou
), então os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Precisamos saber qual curva é a parte superior (maior
) entre
e
. Compare
Para
temos
, portanto
nesse intervalo. Conclusão: no intervalo entre as interseções a reta
está acima da parábola
.
Passo 4
Montar a integral iterada usando fatias verticais (primeiro integrar em
, depois em
). Como
varia de
a
e, para cada
fixo,
varia de
(inferior) até
(superior), a integral fica
Passo 5
Vamos calcular a integral interna em
. Usamos a regra da potência para integrar monômios:
para
. Aplicando termo a termo,
onde no primeiro termo
é constante em relação a
.
Passo 6
Avaliar a primitiva entre
e
:
Calcule termo a termo:
Substituindo e agrupando:
Passo 7
Agora integramos em
no intervalo de
a
:
Integramos termo a termo usando novamente a regra da potência
:
Portanto a primitiva é
Passo 8
Avaliar entre
e
. Substituindo
:
Somando dentro dos parênteses:
Colocando em denominador comum
:
Logo
Multiplicando pelo fator externo
:
Simplificando
:
Passo 9
Interpretação final rápida: o integrando
é não-negativo, a região
é limitada e o resultado
é o valor da massa (se você interpretasse o integrando como densidade) ou da área ponderada correspondente. Bom trabalho — você conseguiu montar limites, integrar em
, simplificar e integrar em
!