Calcule as integrais duplas:
\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) d A, onde D é a região limitada por y=2 x e y=x^{2}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dado o integrando \,x^{2}+y^{2}\,.
  • Dada a região D limitada pelas curvas \,y=2x\, e \,y=x^{2}.
  • Pede-se calcular a integral dupla
\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA.
Informações relevantes a usar mais adiante: as duas curvas que limitam D (uma é uma reta e a outra uma parábola) e que a região é a parte comum entre elas. Precisaremos determinar onde elas se encontram e qual fica acima da outra para montar os limites de integração.

Passo 2

Achar os pontos de interseção das curvas substituindo uma na outra. Igualamos \,y=2x\, e \,y=x^{2}\,:
x^{2}=2x.
Resolvendo,
x^{2}-2x=0 \quad\Rightarrow\quad x(x-2)=0,
logo os pontos de interseção têm abscissas \,x=0\, e \,x=2\,. Para cada x correspondente, as ordenadas são y=x^{2} (ou y=2x), então os pontos de interseção são \,(0,0)\, e \,(2,4)\,.

Passo 3

Precisamos saber qual curva é a parte superior (maior y) entre \,x=0\, e \,x=2\,. Compare
2x - x^{2} = x(2-x).
Para \,0<x<2\, temos x(2-x)>0, portanto \,2x>x^{2}\, nesse intervalo. Conclusão: no intervalo entre as interseções a reta \,y=2x\, está acima da parábola \,y=x^{2}\,.

Passo 4

Montar a integral iterada usando fatias verticais (primeiro integrar em y, depois em x). Como x varia de \,0\, a \,2\, e, para cada x fixo, y varia de \,y=x^{2}\, (inferior) até \,y=2x\, (superior), a integral fica
\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dA = \int_{x=0}^{2}\left(\int_{y=x^{2}}^{2x}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dy\right)dx.

Passo 5

Vamos calcular a integral interna em y. Usamos a regra da potência para integrar monômios: \displaystyle \int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1} para n\neq-1. Aplicando termo a termo,
\int\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dy = \int x^{2}\,dy + \int y^{2}\,dy = x^{2}y + \frac{y^{3}}{3},
onde no primeiro termo x^{2} é constante em relação a y.

Passo 6

Avaliar a primitiva entre y=x^{2} e y=2x:
\left[x^{2}y+\frac{y^{3}}{3}\right]_{y=x^{2}}^{y=2x} = \left(x^{2}(2x)+\frac{(2x)^{3}}{3}\right) - \left(x^{2}(x^{2})+\frac{(x^{2})^{3}}{3}\right).
Calcule termo a termo:
x^{2}(2x)=2x^{3},\qquad \frac{(2x)^{3}}{3}=\frac{8x^{3}}{3},
x^{2}(x^{2})=x^{4},\qquad \frac{(x^{2})^{3}}{3}=\frac{x^{6}}{3}.
Substituindo e agrupando:
2x^{3}+\frac{8x^{3}}{3}-x^{4}-\frac{x^{6}}{3} = \frac{14x^{3}-3x^{4}-x^{6}}{3}.

Passo 7

Agora integramos em x no intervalo de \,0\, a \,2\,:
\int_{0}^{2}\frac{14x^{3}-3x^{4}-x^{6}}{3}\,dx = \frac{1}{3}\int_{0}^{2}\left(14x^{3}-3x^{4}-x^{6}\right)\,dx.
Integramos termo a termo usando novamente a regra da potência \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}:
\int 14x^{3}\,dx=14\cdot\frac{x^{4}}{4},\qquad \int -3x^{4}\,dx=-3\cdot\frac{x^{5}}{5},\qquad \int -x^{6}\,dx=-\frac{x^{7}}{7}.
Portanto a primitiva é
\frac{1}{3}\left(14\cdot\frac{x^{4}}{4}-3\cdot\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}\right).

Passo 8

Avaliar entre \,x=0\, e \,x=2\,. Substituindo x=2:
14\cdot\frac{2^{4}}{4}=14\cdot\frac{16}{4}=14\cdot4=56,
-3\cdot\frac{2^{5}}{5}=-3\cdot\frac{32}{5}=-\frac{96}{5},
-\frac{2^{7}}{7}=-\frac{128}{7}.
Somando dentro dos parênteses:
56-\frac{96}{5}-\frac{128}{7}.
Colocando em denominador comum 35:
56=\frac{1960}{35},\quad \frac{96}{5}=\frac{672}{35},\quad \frac{128}{7}=\frac{640}{35}.
Logo
56-\frac{96}{5}-\frac{128}{7}=\frac{1960-672-640}{35}=\frac{648}{35}.
Multiplicando pelo fator externo \frac{1}{3}:
\frac{1}{3}\cdot\frac{648}{35}=\frac{648}{105}.
Simplificando \gcd(648,105)=3:
\frac{648}{105}=\frac{216}{35}.

Passo 9

Interpretação final rápida: o integrando \,x^{2}+y^{2}\, é não-negativo, a região D é limitada e o resultado \displaystyle \frac{216}{35} é o valor da massa (se você interpretasse o integrando como densidade) ou da área ponderada correspondente. Bom trabalho — você conseguiu montar limites, integrar em y, simplificar e integrar em x!

Resposta

\displaystyle \frac{216}{35}

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