Encontre os pontos críticos das funções abaixo, nas condições indicadas:
f(x, y, z)=x^{2}+y^{2} onde x y=1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função f(x,y,z)=x^{2}+y^{2} sujeitos à condição (restrição) xy=1.\n
Informações dadas:\n
  • A função a ser otimizada é f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}.\n
  • A restrição é xy=1.\n
  • Não há menção de outras restrições nos sinais ou em z, então assumimos x,y,z\in\mathbb{R} e xy=1 deve valer.\n
    O que se pede: determinar todos os pontos (x,y,z) que são pontos críticos de f quando levamos em conta a restrição xy=1.

Passo 2

Qual método usar e por quê (explicação didática):\n
Quando queremos achar extremos de uma função sujeita a uma restrição dada por uma equação g(x,y,z)=0, um método padrão é o dos multiplicadores de Lagrange. A ideia intuitiva é: no ponto crítico (com restrição), o gradiente de f deve ser paralelo ao gradiente da restrição g (porque qualquer variação admissível tangente à superfície de restrição não pode diminuir nem aumentar f em primeira ordem). Isso se escreve como
\nabla f = \lambda \nabla g
onde \lambda é o multiplicador de Lagrange (um número real).\n
O gradiente \nabla f é o vetor das derivadas parciais de f: \nabla f = \left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y},\dfrac{\partial f}{\partial z}\right). Mesmo que você nunca tenha visto isso, pense: o gradiente aponta na direção de maior aumento de f. A condição de Lagrange força esse gradiente a apontar na mesma direção que a normal da superfície de restrição, que é \nabla g.

Passo 3

Aplicando o método: primeiro escrevemos a função de restrição em forma g(x,y,z)=0. Aqui a restrição é xy=1, então tomamos
g(x,y,z)=xy-1.
Agora calculamos os gradientes (vamos mostrar como calcular cada derivada parcial):\n
  • Para f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}, temos\n
\frac{\partial f}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2y,\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=0.
Explicação: derivada de x^{2} em relação a x é 2x; y^{2} não depende de x, então sua derivada é 0; similarmente em y. Como f não depende de z, a derivada parcial em z é 0.\n
  • Para g(x,y,z)=xy-1, temos\n
\frac{\partial g}{\partial x}=y,\qquad \frac{\partial g}{\partial y}=x,\qquad \frac{\partial g}{\partial z}=0.
Explicação: derivada de xy em relação a x trata y como constante, então fica y; idem para a outra.

Passo 4

Agora impomos a condição de Lagrange \nabla f=\lambda \nabla g\) componente a componente, mais a própria restrição \(g=0\). Isso dá o sistema \[\begin{cases} 2x = \lambda y,\\[4pt] 2y = \lambda x,\\[4pt] xy = 1. \end{cases}
Vou explicar: cada equação vem de igualar as componentes correspondentes do vetor \nabla f\] com \(\lambda \nabla g; a terceira é a própria restrição.]

Passo 5

Resolver o sistema: uma estratégia simples é multiplicar as duas primeiras equações termo a termo para eliminar \lambda. Multiplicando 2x = \lambda y por 2y = \lambda x obtemos
(2x)(2y) = (\lambda y)(\lambda x).
Isso dá
4xy = \lambda^{2} xy.
Como a restrição nos diz que xy=1 (portanto não-zero), podemos dividir ambos os lados por xy e obter
4 = \lambda^{2}.
Logo
\lambda = 2 \quad\text{ou}\quad \lambda = -2.

Passo 6

Analisar cada caso de \lambda:\n
  • Se \lambda=2: das primeiras equações temos 2x = 2y, ou seja x=y. Com a restrição xy=1 isso vira x^{2}=1, então x=\pm 1. Como x=y, os pares (x,y) possíveis são (1,1) e (-1,-1).\n
  • Se \lambda=-2: das primeiras equações temos 2x = -2y, ou x=-y. Com a restrição xy=1 isso vira x(-x)=1, ou seja -x^{2}=1, o que é impossível em \mathbb{R}. Portanto não há solução real para \lambda=-2.

Passo 7

Tratamento da coordenada z: note que nem f nem g dependem de z, e as derivadas parciais em z foram zero, então não há equação envolvendo z. Isso significa que, uma vez escolhidos x e y que satisfazem as equações, z pode ser qualquer número real. Portanto os pontos críticos formam retas na direção do eixo z: (1,1,z) e (-1,-1,z) para todo z\in\mathbb{R}.

Passo 8

Classificação (mínimo, máximo ou outro) e valor da função nesses pontos:\n
Calculemos o valor de f nos pontos encontrados:
f(1,1,z)=1^{2}+1^{2}=2,\qquad f(-1,-1,z)=(-1)^{2}+(-1)^{2}=2.
Mostramos que esse valor é mínimo (constrito) sobre a curva xy=1:\n
Considere x e y reais com xy=1. Então x^{2}+y^{2} é sempre maior ou igual a 2. Uma forma simples de ver isso é usar a desigualdade aritmética-quadrática (ou observar que (x-y)^{2}\ge 0 x^{2}+y^{2}\ge 2xy). Como xy=1, isso implica
x^{2}+y^{2}\ge 2xy = 2,
com igualdade exatamente quando x=y. Portanto os pontos (1,1,z) e (-1,-1,z) alcançam esse menor valor possível 2 sobre a restrição. Não existe máximo porque podemos fazer x^{2}+y^{2} arbitrariamente grande mantendo xy=1 (por exemplo x\to\infty, y\to 0^{+} com produto 1).

Resposta

(1,1,z) para todo z\in\mathbb{R} — pontos de mínimo restrito com f=2.\n
(-1,-1,z) para todo z\in\mathbb{R} — pontos de mínimo restrito com f=2.

Exercícios relacionados