Encontre os pontos críticos das funções abaixo, nas condições indicadas:
onde
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
sujeitos à condição (restrição)
.\n
Informações dadas:\n
Informações dadas:\n
- A função a ser otimizada é
.\n - A restrição é
.\n - Não há menção de outras restrições nos sinais ou em
, então assumimos e deve valer.\n
O que se pede: determinar todos os pontosque são pontos críticos de quando levamos em conta a restrição .
Passo 2
Qual método usar e por quê (explicação didática):\n
Quando queremos achar extremos de uma função sujeita a uma restrição dada por uma equação , um método padrão é o dos multiplicadores de Lagrange. A ideia intuitiva é: no ponto crítico (com restrição), o gradiente de
deve ser paralelo ao gradiente da restrição
(porque qualquer variação admissível tangente à superfície de restrição não pode diminuir nem aumentar
em primeira ordem). Isso se escreve como
Quando queremos achar extremos de uma função sujeita a uma restrição dada por uma equação
onde
é o multiplicador de Lagrange (um número real).\n
O gradiente é o vetor das derivadas parciais de
:
. Mesmo que você nunca tenha visto isso, pense: o gradiente aponta na direção de maior aumento de
. A condição de Lagrange força esse gradiente a apontar na mesma direção que a normal da superfície de restrição, que é
.
O gradiente
Passo 3
Aplicando o método: primeiro escrevemos a função de restrição em forma
. Aqui a restrição é
, então tomamos
Agora calculamos os gradientes (vamos mostrar como calcular cada derivada parcial):\n
- Para
, temos\n
Explicação: derivada de
em relação a
é
;
não depende de
, então sua derivada é
; similarmente em
. Como
não depende de
, a derivada parcial em
é
.\n
- Para
, temos\n
Explicação: derivada de
em relação a
trata
como constante, então fica
; idem para a outra.
Passo 4
Agora impomos a condição de Lagrange
Vou explicar: cada equação vem de igualar as componentes correspondentes do vetor
; a terceira é a própria restrição.]
Passo 5
Resolver o sistema: uma estratégia simples é multiplicar as duas primeiras equações termo a termo para eliminar
. Multiplicando
por
obtemos
Isso dá
Como a restrição nos diz que
(portanto não-zero), podemos dividir ambos os lados por
e obter
Logo
Passo 6
Analisar cada caso de
:\n
- Se
: das primeiras equações temos , ou seja . Com a restrição isso vira , então . Como , os pares possíveis são e .\n - Se
: das primeiras equações temos , ou . Com a restrição isso vira , ou seja , o que é impossível em . Portanto não há solução real para .
Passo 7
Tratamento da coordenada
: note que nem
nem
dependem de
, e as derivadas parciais em
foram zero, então não há equação envolvendo
. Isso significa que, uma vez escolhidos
e
que satisfazem as equações,
pode ser qualquer número real. Portanto os pontos críticos formam retas na direção do eixo
:
e
para todo
.
Passo 8
Classificação (mínimo, máximo ou outro) e valor da função nesses pontos:\n
Calculemos o valor de nos pontos encontrados:
Calculemos o valor de
Mostramos que esse valor é mínimo (constrito) sobre a curva
:\n
Considere e
reais com
. Então
é sempre maior ou igual a
. Uma forma simples de ver isso é usar a desigualdade aritmética-quadrática (ou observar que
dá
). Como
, isso implica
Considere
com igualdade exatamente quando
. Portanto os pontos
e
alcançam esse menor valor possível
sobre a restrição. Não existe máximo porque podemos fazer
arbitrariamente grande mantendo
(por exemplo
,
com produto
).