5- Encontre o dimite a seguir. Apresentar o racísu de forma organizada.
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(3 x^{2}+9\right)^{1 / x}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do seguinte limite:
\lim_{x\to+\infty}\bigl(3x^{2}+9\bigr)^{1/x}.
Este é um problema de limite de uma expressão na forma “base positiva elevada a algo que tende a zero”. Vamos usar a transformação logarítmica para facilitar a avaliação.

Passo 2

Definimos
y = \bigl(3x^{2}+9\bigr)^{1/x}
e calculamos o logaritmo natural de y:
\ln y = \frac{1}{x}\,\ln\bigl(3x^{2}+9\bigr).
Assim, o limite original se transforma em
\lim_{x\to+\infty}y = \exp\Bigl(\lim_{x\to+\infty}\ln y\Bigr).

Passo 3

Analisamos o termo dentro do exponencial:
\lim_{x\to+\infty}\ln y = \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\bigl(3x^{2}+9\bigr)}{x}.
Para x grande, escrevemos
\ln\bigl(3x^{2}+9\bigr) = \ln\bigl(x^{2}(3 + \tfrac{9}{x^{2}})\bigr) = 2\ln x + \ln\bigl(3 + \tfrac{9}{x^{2}}\bigr).
Logo,
\frac{\ln\bigl(3x^{2}+9\bigr)}{x} = \frac{2\ln x}{x} + \frac{\ln\bigl(3 + 9/x^{2}\bigr)}{x}.
Sabendo que \ln x / x \to 0 e \ln(3+9/x^{2}) tende a \ln 3 (mas dividido por x também vai a zero), obtemos
\lim_{x\to+\infty}\ln y = 0.

Passo 4

Portanto,
\lim_{x\to+\infty}y = \exp\bigl(0\bigr) = 1.

Resposta

1

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