As oscilações livres em um sistema massa-mola com amortecimento são governadas pela equação diferencial
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0
a) Determine a solução geral da EDO.
A equação característica é
\lambda^{2}+2 \lambda+1=0 que tem uma única raíz real distinta
\lambda=-1 . Portanto, a solução geral é
b) Se a massa inicia seu movimento a partir da posição inicial
y(0)=1 , com velocidade inicial
v_{0} , qual a função
y(t) satisfaz este PVI?
A posição inicial é
y(0)=1 . A velocidade inicial é
y^{\prime}(0)=v_{0} , e para usar ela vamos derivar a solução geral:
y^{\prime}=-A e^{-t}+B e^{-t}-B t e^{-t} . Assim, temos
\begin{array}{rlrl} y(0)=1 & y^{\prime}(0) & =v_{0} \\\ \hline A=1 & -A+B & =v_{0} \\\ B & =v_{0}+A \\\ B & =v_{0}+1 \end{array}
Portanto, a solução do PVI é
y=e^{-t}+\left(v_{0}+1\right) t e^{-t}
c) Qual a condição que
v_{0} deve satisfazer para que a massa passe uma vez pela posição de equilíbrio? Para que o bloco passe pela posição de equilíbrio em algum instante
t>0 , devemos ter
y(t)=0 para algum
t>0 . Por isso vamos resolver
y(t)=0 :
\begin{aligned} y(t) & =0 \\\ e^{-t}+\left(v_{0}+1\right) t e^{-t} & =0 \\\ \left(v_{0}+1\right) t e^{-t} & =-e^{-t} \\\ t & =-\frac{e^{-t}}{\left(v_{0}+1\right) e^{-t}} \\\ t & =-\frac{1}{v_{0}+1} \end{aligned}
Portanto o bloco passa pela posição de equilíbrio quando
t=-\frac{1}{v_{0}+1} , e para que isso seja positivo, devemos ter o denominador negativo, isto é,
v_{0}+1<0 , ou seja
v_{0}<-1 .