Exerc. 1 Algumas das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem abaixo, podem ser classificadas em mais de uma categoria. Classifique cada uma das EDOs abaixo e determine uma solução.
\omega^{\prime}=\frac{\omega}{x+\omega}.

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
\omega' = \frac{\omega}{x + \omega}
e pede que a classifiquemos e encontremos sua solução geral. Como é uma EDO ordinária de primeira ordem, podemos examiná-la quanto a ser separável, exata, linear, homogênea etc., e depois aplicar o método adequado.

Passo 2

Observamos que a função do lado direito
f(x,\omega)=\frac{\omega}{x+\omega}
é homogênea de grau 0, pois para todo t\neq0
f(tx,t\omega)=\frac{t\omega}{t x+t\omega}=\frac{\omega}{x+\omega}=f(x,\omega).
Logo a EDO é uma equação homogênea de primeira ordem, e podemos usar a substituição
\omega = x\,v(x),
com v=\omega/x.

Passo 3

Fazendo \omega = x v temos
\omega' = v + x\,\frac{dv}{dx}.
Substituindo em \omega' = \omega/(x+\omega)
v + x\frac{dv}{dx} = \frac{xv}{x + x v} = \frac{v}{1+v}.
Isolando dv/dx:
x\frac{dv}{dx} = \frac{v}{1+v}-v = -\frac{v^2}{1+v}.

Passo 4

Separamos variáveis:
\frac{1+v}{v^2}\,dv = -\frac{dx}{x}.
Integramos ambos os lados:
\int\Bigl(\frac{1}{v^2}+\frac{1}{v}\Bigr)dv = -\int\frac{dx}{x} \;\Longrightarrow\; -\frac{1}{v}+\ln\lvert v\rvert = -\ln\lvert x\rvert + C.

Passo 5

Voltando a \omega, como v=\omega/x, temos -1/v=-x/\omega e \ln|v|=\ln|\omega|-\ln|x|. Substituindo e cancelando -\ln|x| de ambos os lados resulta
-\frac{x}{\omega} + \ln\lvert \omega\rvert = C,
que é a forma implícita da solução geral.

Resposta

Classificação: EDO de primeira ordem homogênea (grau 0).
Solução geral (implícita):
\ln\lvert \omega\rvert - \frac{x}{\omega} = C.

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