A função receita de uma firma é dada por R(x)=200 x-x^{2}, em que x é o número de unidades produzidas. Determine o valor de x que maximiza a receita da firma.

Passo 1

O enunciado nos dá a função receita
R(x) = 200x - x^{2},
em que x é o número de unidades produzidas. O conteúdo é otimização de função polinomial e vamos usar derivadas para encontrar o ponto de máximo.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira de R(x):
R'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(200x - x^{2}\bigr) = 200 - 2x.

Passo 3

Para achar o ponto crítico, igualamos R'(x) a zero:
200 - 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x = 200 \quad\Longrightarrow\quad x = 100.

Passo 4

Verificamos o caráter do ponto crítico calculando a derivada segunda:
R''(x) = \frac{d}{dx}(200 - 2x) = -2 < 0.
Como R''(100) = -2 é negativa, x=100 é um ponto de máximo.

Resposta

O valor de x que maximiza a receita é 100 unidades.

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