Use a integração dupla para achar o volume do sólido.
O sólido W dentro da esfera centrada de raio 3 e fora do cilindro centrado de raio 1
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido W que está dentro da esfera de raio 3 centrada na origem e fora do cilindro de raio 1 cujo eixo é o eixo z. Aqui vamos usar integração dupla (na verdade tripla) em coordenadas cilíndricas, porque a simetria do cilindro e da esfera fica muito mais simples nesse sistema.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) valem:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
o jacobiano é r e as condições do sólido são
1 \le r \le 3,\quad 0 \le \theta \le 2\pi,\quad -\sqrt{9 - r^2} \le z \le \sqrt{9 - r^2}.
Portanto o volume é
V = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=1}^{3} \int_{z=-\sqrt{9-r^2}}^{\sqrt{9-r^2}} r \,dz\,dr\,d\theta.
Passo 3
Primeiro integramos em z. Como os limites são simétricos,