Use a integração dupla para achar o volume do sólido.
O sólido W dentro da esfera centrada de raio 3 e fora do cilindro centrado de raio 1

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido W que está dentro da esfera de raio 3 centrada na origem e fora do cilindro de raio 1 cujo eixo é o eixo z. Aqui vamos usar integração dupla (na verdade tripla) em coordenadas cilíndricas, porque a simetria do cilindro e da esfera fica muito mais simples nesse sistema.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) valem:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
o jacobiano é r e as condições do sólido são
1 \le r \le 3,\quad 0 \le \theta \le 2\pi,\quad -\sqrt{9 - r^2} \le z \le \sqrt{9 - r^2}.
Portanto o volume é
V = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=1}^{3} \int_{z=-\sqrt{9-r^2}}^{\sqrt{9-r^2}} r \,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Primeiro integramos em z. Como os limites são simétricos,
\int_{-\sqrt{9-r^2}}^{\sqrt{9-r^2}} dz = 2\sqrt{9 - r^2},
logo
V = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{1}^{3} r\cdot 2\sqrt{9 - r^2}\;dr\,d\theta = 2\int_{0}^{2\pi}\!d\theta\;\int_{1}^{3} r\sqrt{9 - r^2}\;dr.

Passo 4

Agora integramos em \theta, obtendo um fator 2\pi:
V = 4\pi \int_{1}^{3} r\sqrt{9 - r^2}\;dr.
Para calcular \displaystyle \int_{1}^{3} r\sqrt{9 - r^2}\,dr, fazemos a substituição
u = 9 - r^2,\quad du = -2r\,dr\quad\Longrightarrow\quad r\,dr = -\tfrac12\,du.
Quando r=1, u=8; quando r=3, u=0. Então
\int_{1}^{3} r\sqrt{9 - r^2}\,dr = \int_{u=8}^{0} \sqrt{u}\,\bigl(-\tfrac12\,du\bigr) = \tfrac12\int_{0}^{8} u^{1/2} du = \tfrac12\cdot \frac{2}{3}\,u^{3/2}\Big|_{0}^{8} = \frac{1}{3}\,8^{3/2} = \frac{16\sqrt{2}}{3}.

Passo 5

Substituindo de volta em V:
V = 4\pi \times \frac{16\sqrt{2}}{3} = \frac{64\pi\sqrt{2}}{3}.

Resposta

V = \frac{64\pi\sqrt{2}}{3}.

Exercícios relacionados