Calcule a integral trocando a ordem de integração.
$(a) a

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral trocando a ordem de integração. A questão envolve cálculo de integrais duplas, especificamente mudando a ordem de integração para facilitar o cálculo. Vamos precisar entender os limites de integração atuais e como reorganizá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região de integração. Atualmente, a integração está com indo de 0 a 1 e, para cada , vai de até 3. Isso define uma área no plano onde está entre 0 e 1, e está entre e 3.

Passo 3

Para trocar a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de forma que seja o primeiro a variar. Observando a região, varia de 0 a 3. Para cada , vai de 0 até . Assim, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a . Como não depende de , podemos tratar como uma constante:

Passo 5

Substituímos isso na integral externa:

Passo 6

Para resolver , fazemos uma substituição simples. Seja , então ou . A integral se torna:
Voltando para :

Passo 7

Aplicando os limites de 0 a 3:

Resposta

A integral calculada é .

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