Calcule a integral trocando a ordem de integração.
$(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral trocando a ordem de integração. A questão envolve cálculo de integrais duplas, especificamente mudando a ordem de integração para facilitar o cálculo. Vamos precisar entender os limites de integração atuais e como reorganizá-los.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região de integração. Atualmente, a integração está com indo de 0 a 1 e, para cada , vai de até 3. Isso define uma área no plano onde está entre 0 e 1, e está entre e 3.
Passo 3
Para trocar a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de forma que seja o primeiro a variar. Observando a região, varia de 0 a 3. Para cada , vai de 0 até . Assim, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a . Como não depende de , podemos tratar como uma constante:
Passo 5
Substituímos isso na integral externa:
Passo 6
Para resolver , fazemos uma substituição simples. Seja , então ou . A integral se torna: