Calcule as integrais duplas
\in R^{2}: 0 \leq x \leq 2,-x \leq y \leq x\}\)

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer calcular a integral dupla de x^3y^2 sobre a região D=(x,y):0<= x<=2,,-x<= y<= x. O conteúdo aqui é integração múltipla via integrais iteradas. Vamos integrar primeiro em y (de -x a x) e depois em x (de 0 a 2).

Passo 2

Integral interna em y: escrevendo
integral-x^x x^3y^2,dy = x^3 integral-x^x y^2,dy
Como y^2 é função par,
integral-x^x y^2,dy = 2integral0^x y^2,dy = 2[y^33]0^x = 2x^33
Logo a integral interna vale x^3cdottfrac2x^33=tfrac23x^6.

Passo 3

Integral externa em x: agora
integral0^2 23x^6,dx = 23 integral0^2 x^6,dx = 23[x^77]0^2 = 23cdot2^77 = 25621

Resposta

25621

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