Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Passo 1
O enunciado pede para a gente usar o teste da integral para ver se cada uma das séries listadas (itens a até f) converge ou diverge. O conteúdo é séries de termos positivos e o teste da integral, e vamos precisar associar cada termo a uma função contínua, positiva e decrescente para x≥1.
O teste da integral diz o seguinte: se tivermos uma função f(x) contínua, positiva e decrescente para x≥1, e definirmos a_n = f(n), então a série ∑a_n converge se, e somente se, a integral imprópria
for convergente.
Passo 2
Para o item (a) a_n = 1/n^4, associamos f(x)=1/x^4. Essa f(x) é positiva e decrescente para x≥1. Calculamos a integral:
Passo 3
Para o item (b) a_n = 1/√[4]{n}=n^{-1/4}, então f(x)=x^{-1/4}, que é positiva e decrescente. A integral é:
Passo 4
No item © a_n = 1/(3n+1), então f(x)=1/(3x+1), positiva e decrescente. Fazemos a integral:
Passo 5
No item (d) a_n = e^{-n}, usamos f(x)=e^{-x}, positiva e decrescente. A integral dá:
Passo 6
No item (e) a_n = n e^{-n}, associamos f(x)=x e^{-x}. A integral é imprópria mas converge:
Passo 7
Por fim, no item (f) os termos são 1/3, 1/7, 1/11,… logo a_n=1/(4n-1) e f(x)=1/(4x-1). Essa f é positiva e decrescente, e
Resposta
a) converge; b) diverge; c) diverge; d) converge; e) converge; f) diverge.