Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
a. sumn=1^infty 1n^4
b. sumn=1^infty 1raiz[4]n
c. sumn=1^infty 13 n+1
d. sumn=1^infty e^-n
e. sumn=1^infty n e^-n
f. 13+17+111+115+cdots

Passo 1

O enunciado pede para a gente usar o teste da integral para ver se cada uma das séries listadas (itens a até f) converge ou diverge. O conteúdo é séries de termos positivos e o teste da integral, e vamos precisar associar cada termo a uma função contínua, positiva e decrescente para x≥1.
O teste da integral diz o seguinte: se tivermos uma função f(x) contínua, positiva e decrescente para x≥1, e definirmos a_n = f(n), então a série ∑a_n converge se, e somente se, a integral imprópria integral1^infty f(x),dx for convergente.

Passo 2

Para o item (a) a_n = 1/n^4, associamos f(x)=1/x^4. Essa f(x) é positiva e decrescente para x≥1. Calculamos a integral:
integral1^infty 1x^4 ,dx = [ -13x^3 ]1^infty = 0 - (-13) = 13, que é finita. Logo a série ∑1/n^4 converge.

Passo 3

Para o item (b) a_n = 1/√[4]{n}=n^{-1/4}, então f(x)=x^{-1/4}, que é positiva e decrescente. A integral é:
integral1^infty x^-1/4 ,dx = [ x^3/43/4 ]1^infty = 43(infty - 1) = infty, que diverge. Logo a série diverge.

Passo 4

No item © a_n = 1/(3n+1), então f(x)=1/(3x+1), positiva e decrescente. Fazemos a integral:
integral1^infty 13x+1 ,dx = 13 integral4^infty 1u ,du = 13[ln u]4^infty = infty, portanto diverge.

Passo 5

No item (d) a_n = e^{-n}, usamos f(x)=e^{-x}, positiva e decrescente. A integral dá:
integral1^infty e^-x ,dx = [ -e^-x ]1^infty = 0 - (-e^-1) = e^-1, que é finita. Então a série converge.

Passo 6

No item (e) a_n = n e^{-n}, associamos f(x)=x e^{-x}. A integral é imprópria mas converge:
integral1^infty x e^-x ,dx = l[-(x+1)e^-xr]1^infty = 0 - [-(2)e^-1] = 2e^-1, que é finita. Logo a série converge.

Passo 7

Por fim, no item (f) os termos são 1/3, 1/7, 1/11,… logo a_n=1/(4n-1) e f(x)=1/(4x-1). Essa f é positiva e decrescente, e
integral1^infty 14x-1 ,dx = 14 integral3^infty 1u ,du = infty, portanto a série diverge.

Resposta

a) converge; b) diverge; c) diverge; d) converge; e) converge; f) diverge.

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