Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas:
y^prime prime-3 y^prime+2 y=e^x sen x

Passo 1

Temos a equação
y'' - 3y' + 2y = e^x sin x
O conteúdo envolve EDOs lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos achar a solução homogênea e uma solução particular da não-homogênea.

Passo 2

Para a parte homogênea resolvemos a equação característica
r^2 - 3r + 2 = 0
cuja solução é r=1 e r=2. Logo
yh(x) = C1 e^x + C2 e^2x

Passo 3

Para a parte particular usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo forçante é e^x sin x, propomos
yp(x) = e^xl(Acos x + Bsin xr),
pelo fato de que e^(1pm i)x não é raiz da característica.

Passo 4

Calculamos as derivadas:
yp' = e^x[(A+B)cos x + (B-A)sin x],
yp'' = e^x[2Bcos x - 2Asin x]
Substituindo na equação original e factorando e^x, obtemos
e^xl[-(A+B)cos x + (A-B)sin xr] = e^xsin x

Passo 5

Igualando coeficientes de cos x e sin x no interior do parêntese, temos
-(A+B)=0, A-B=1,
cuja solução é A=tfrac12 e B=-tfrac12. Portanto
yp(x) = e^x2(cos x - sin x)

Passo 6

Assim, a solução geral da EDO é dada pela soma da parte homogênea com a particular, isto é y(x)=yh(x)+yp(x).

Resposta

y(x) = C1 e^x + C2 e^2x + e^x2(cos x - sin x)

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