Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas:
Passo 1
Temos a equação
O conteúdo envolve EDOs lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos achar a solução homogênea e uma solução particular da não-homogênea.
Passo 2
Para a parte homogênea resolvemos a equação característica
cuja solução é
e
. Logo
Passo 3
Para a parte particular usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo forçante é
, propomos
pelo fato de que
não é raiz da característica.
Passo 4
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação original e factorando
, obtemos
Passo 5
Igualando coeficientes de
e
no interior do parêntese, temos
cuja solução é
e
. Portanto
Passo 6
Assim, a solução geral da EDO é dada pela soma da parte homogênea com a particular, isto é
.