Use uma série de Laurent adequada e calcule o resíduo indicado.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o resíduo de
f(z)=(z+3)^2sinl(2/(z+3)r) em z=-3 usando uma série de Laurent. O conteúdo principal é a expansão em série de Laurent ao redor de z=-3 (i.e. w=0), e vamos precisar da série de Taylor da função seno.

Passo 2

Introduzimos a mudança de variável w=z+3. Assim
f(z)=w^2sinl(2wr),
pois o ponto z=-3 corresponde a w=0.

Passo 3

Lembrando que a série de Taylor da função seno é
sin(u)=sumn=0^infty(-1)^nu^2n+1(2n+1)!,
substituímos u=2/w para obter
sinl(2wr)=sumn=0^infty(-1)^n2^2n+1(2n+1)!,w^-2n-1

Passo 4

Multiplicando pela frente w^2, a série de Laurent de f em torno de w=0 fica
f(z)=sumn=0^infty(-1)^n2^2n+1(2n+1)!,w^1-2n

Passo 5

O resíduo em z=-3 é o coeficiente do termo w^-1 na série. Buscamos 1-2n=-1, o que dá n=1.

Passo 6

Para n=1, o coeficiente é
(-1)^12^33!=-86=-43
Portanto, o resíduo é
-4/3.

Resposta

-\frac{4}{3}

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