Use uma série de Laurent adequada e calcule o resíduo indicado.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o resíduo de
em
usando uma série de Laurent. O conteúdo principal é a expansão em série de Laurent ao redor de
(i.e.
), e vamos precisar da série de Taylor da função seno.
Passo 2
Introduzimos a mudança de variável
. Assim
pois o ponto
Passo 3
Lembrando que a série de Taylor da função seno é
substituímos
para obter
Passo 4
Multiplicando pela frente
, a série de Laurent de
em torno de
fica
Passo 5
O resíduo em
é o coeficiente do termo
na série. Buscamos
, o que dá
.
Passo 6
Para
, o coeficiente é
Portanto, o resíduo é
.
Resposta
-\frac{4}{3}