Calcule as integrais duplas
\in R^{2}: 1 \leq y \leq 2, y \leq x \leq y^{3}\}\)

Passo 1

Resumimos o enunciado: vamos calcular
integral duplaD e^x/y,dA,
onde D=(x,y):1<= y<=2,;y<= x<= y^3. O tema é integral dupla em coordenadas cartesianas de uma função exponencial e vamos usar a versão iterada.

Passo 2

Configuramos a integral iterada como
integral1^2!integraly^y^3e^x/y,dx,dy
e escolhemos integrar primeiro em x.

Passo 3

Para a parte interna integraly^y^3e^x/y,dx, fazemos a substituição t=x/y, de forma que dx=y,dt e os limites passam de x=yto t=1 e x=y^3to t=y^2. A integral vira integral1^y^2e^t,y,dt=y(e^y^2-e).

Passo 4

Assim o problema se reduz a
integral1^2y(e^y^2-e),dy = integral1^2y e^y^2,dy ;-; eintegral1^2y,dy

Passo 5

Calculamos integral1^2y e^y^2,dy com u=y^2, du=2y,dy, resultando em tfrace^4 - e2. E integral1^2y,dy = tfrac32. Subtraindo as parcelas temos
e^4 - e2 - 3e2 = e^4 - e - 3e2

Resposta

e^4 - 4e2

Exercícios relacionados