Use uma série de Laurent adequada e calcule o resíduo indicado.

Passo 1

Enunciado: calcular o resíduo de f(z)=e^-z(z-2)^2 no polo z=2. Matéria: séries de Laurent e cálculo de resíduos. Precisamos expandir e^-z em torno de z=2 e extrair o coeficiente de (z-2)^-1.

Passo 2

Definimos w=z-2, então z=2+w e f(z)=e^-(2+w)w^2=e^-2e^-ww^2. Em seguida usamos a série de Taylor de e^-w em torno de w=0:
e^-w=sumn=0^infty(-1)^nn!,w^n
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f(z)=e^-2,1w^2sumn=0^infty(-1)^nn!,w^n=e^-2sumn=0^infty(-1)^nn!,w^n-2

Passo 3

Para encontrar o resíduo, identificamos o coeficiente de w^-1. No somatório, o expoente n-2=-1 quando n=1. Assim o coeficiente é
e^-2(-1)^11!=-e^-2

Resposta

-e^-2

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