Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas:
x y^prime prime-y^prime=3 x^2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação linear de segunda ordem não-homogênea x,y'' - y' = 3x^2. O conteúdo envolvido é equações diferenciais lineares de segunda ordem sem termo em y, e vamos precisar usar redução de ordem (substituindo y') e fator integrante para resolver a equação de primeira ordem resultante.

Passo 2

Primeiro, divido a equação por x (assumindo xneq0) para colocá-la na forma padrão:
[
y’’ - \frac{1}{x},y’ = 3x
],
como um passo na resolução de equações diferenciais lineares. Observando que não há termo em y, faço a substituição p = y'. Assim p' = y'' e a equação vira uma de primeira ordem em p:
[
p’ - \frac{1}{x},p = 3x
].

Passo 3

Para resolver essa equação, identifico o coeficiente de p como -1/x e calculo o fator integrante:
[
\mu(x) = e^{\int -\tfrac{1}{x}dx} = e^{-\ln|x|} = x^{-1}.
],
Multiplico toda a equação por x^-1 e reconheço o lado esquerdo como derivada do produto p,x^-1:
[
\frac{d}{dx}\bigl(p,x^{-1}\bigr) = 3.
].

Passo 4

Integrando em relação a x obtenho
[
p,x^{-1} = 3x + C_1 \quad\Longrightarrow\quad p = y’ = 3x^2 + C_1 x.
].

Passo 5

Finalmente, volto a y integrando y':
[
y(x) = \int\bigl(3x^2 + C_1 x\bigr)dx = x^3 + \frac{C_1}{2}x^2 + C_2.
],
Podemos renomear C1/2 como outra constante arbitrária para deixar a forma mais direta.

Resposta

A solução geral é
y(x) = x^3 + C1 x^2 + C2,
com constantes C1 e C2 arbitrárias.

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