Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação linear de segunda ordem não-homogênea
. O conteúdo envolvido é equações diferenciais lineares de segunda ordem sem termo em
, e vamos precisar usar redução de ordem (substituindo
) e fator integrante para resolver a equação de primeira ordem resultante.
Passo 2
Primeiro, divido a equação por
(assumindo
) para colocá-la na forma padrão:
[
y’’ - \frac{1}{x},y’ = 3x
],
como um passo na resolução de equações diferenciais lineares. Observando que não há termo em , faço a substituição
. Assim
e a equação vira uma de primeira ordem em
:
[
p’ - \frac{1}{x},p = 3x
].
[
y’’ - \frac{1}{x},y’ = 3x
],
como um passo na resolução de equações diferenciais lineares. Observando que não há termo em
[
p’ - \frac{1}{x},p = 3x
].
Passo 3
Para resolver essa equação, identifico o coeficiente de
como
e calculo o fator integrante:
[
\mu(x) = e^{\int -\tfrac{1}{x}dx} = e^{-\ln|x|} = x^{-1}.
],
Multiplico toda a equação por e reconheço o lado esquerdo como derivada do produto
:
[
\frac{d}{dx}\bigl(p,x^{-1}\bigr) = 3.
].
[
\mu(x) = e^{\int -\tfrac{1}{x}dx} = e^{-\ln|x|} = x^{-1}.
],
Multiplico toda a equação por
[
\frac{d}{dx}\bigl(p,x^{-1}\bigr) = 3.
].
Passo 4
Integrando em relação a
obtenho
[
p,x^{-1} = 3x + C_1 \quad\Longrightarrow\quad p = y’ = 3x^2 + C_1 x.
].
[
p,x^{-1} = 3x + C_1 \quad\Longrightarrow\quad p = y’ = 3x^2 + C_1 x.
].
Passo 5
Finalmente, volto a
integrando
:
[
y(x) = \int\bigl(3x^2 + C_1 x\bigr)dx = x^3 + \frac{C_1}{2}x^2 + C_2.
],
Podemos renomear como outra constante arbitrária para deixar a forma mais direta.
[
y(x) = \int\bigl(3x^2 + C_1 x\bigr)dx = x^3 + \frac{C_1}{2}x^2 + C_2.
],
Podemos renomear
Resposta
A solução geral é
com constantes
e
arbitrárias.