Calcule as integrais duplas.
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \operatorname{sen}(x+y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\sin(x+y)\,dx\,dy.
Aplicando o teorema de Fubini, vamos integrar primeiro em x, tratando y como constante.

Passo 2

Para cada y fixo, considere
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\sin(x+y)\,dx.
A antiderivada em x de \sin(x+y) é -\cos(x+y). Portanto,
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\sin(x+y)\,dx = \left[-\cos(x+y)\right]_{x=\frac{\pi}{2}}^{x=\pi} = -\cos(\pi+y)\;-\;\bigl(-\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}+y\bigr)\bigr).

Passo 3

Usando as identidades \cos(\pi+y)=-\cos y e \cos(\tfrac{\pi}{2}+y)=-\sin y, obtemos
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\sin(x+y)\,dx = -\bigl(-\cos y\bigr)\;-\;\bigl(-(-\sin y)\bigr) = \cos y - \sin y.
Logo a integral dupla passa a ser
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}\bigl(\cos y - \sin y\bigr)\,dy.

Passo 4

Agora integramos em y:
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}(\cos y - \sin y)\,dy.
Sabendo que a antiderivada de \cos y é \sin y e de -\sin y é \cos y, temos
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}(\cos y - \sin y)\,dy = \bigl[\sin y + \cos y\bigr]_{y=\frac{\pi}{4}}^{y=\pi}.

Passo 5

Avaliando nos limites:
\sin\pi + \cos\pi = 0 + (-1) = -1,
\sin\tfrac{\pi}{4} + \cos\tfrac{\pi}{4} = \tfrac{\sqrt{2}}{2} + \tfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}.
Portanto,
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\sin(x+y)\,dx\,dy = (-1)\;-\;(\sqrt{2}) = -1 - \sqrt{2}.

Resposta

-1 - \sqrt{2}

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