Calcule as integrais duplas.
\int_{-1}^{2} \int_{-x}^{x}\left(x^{2}+y^{2}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{x=-1}^{2}\int_{y=-x}^{x}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dy\,dx.
O plano é usar a ordem dada: primeiro integrar em y (tratando x como constante) e depois em x. Para isso precisamos das primitivas de 1 e de y^{2}.

Passo 2

Calcule a integral interna em y:
\int_{-x}^{x}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dy = x^{2}\int_{-x}^{x}1\,dy \;+\;\int_{-x}^{x}y^{2}\,dy.
Temos
x^{2}\int_{-x}^{x}1\,dy = x^{2}\bigl[y\bigr]_{-x}^{x} = x^{2}(x - (-x))=2x^{3},
\int_{-x}^{x}y^{2}\,dy =\bigl[\tfrac{y^{3}}{3}\bigr]_{-x}^{x} =\frac{x^{3}}{3}-\frac{(-x)^{3}}{3} =\frac{2x^{3}}{3}.
Somando,
\int_{-x}^{x}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dy =2x^{3}+\frac{2x^{3}}{3} =\frac{8x^{3}}{3}.

Passo 3

Agora a integral sobre x fica
\int_{-1}^{2}\frac{8x^{3}}{3}\,dx =\frac{8}{3}\int_{-1}^{2}x^{3}\,dx =\frac{8}{3}\Bigl[\tfrac{x^{4}}{4}\Bigr]_{-1}^{2}.

Passo 4

Avalie a primitiva nos limites:
\Bigl[\tfrac{x^{4}}{4}\Bigr]_{-1}^{2} =\frac{2^{4}}{4}-\frac{(-1)^{4}}{4} =4-\frac{1}{4} =\frac{15}{4}.
Logo
\frac{8}{3}\cdot\frac{15}{4} =10.

Resposta

O valor da integral é 10.

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