Calcule as integrais duplas.
\int_{2}^{4} \int_{0}^{x} \ln x d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{2}^{4}\int_{0}^{x}\ln x\;dy\;dx.
O conteúdo envolvido é integral iterada: primeiro integramos em relação a y, depois em relação a x.

Passo 2

Começamos pela integral interna em y:
\int_{0}^{x}\ln x\;dy.
Como \ln x não depende de y, podemos tirá-la da integral:
\int_{0}^{x}\ln x\;dy = \ln x \int_{0}^{x}dy = \ln x\,(x - 0) = x\,\ln x.

Passo 3

A integral dupla reduz-se então a
\int_{2}^{4} x\,\ln x\;dx.
Para resolver \displaystyle\int x\ln x\,dx, usamos integração por partes.

Passo 4

Seja
u = \ln x,\quad dv = x\,dx.
Então
du = \frac{1}{x}\,dx,\quad v = \frac{x^{2}}{2}.
Pela fórmula de partes,
\int x\ln x\,dx = u\,v - \int v\,du = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx.
Calculando a última integral,
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},
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\int x\ln x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4} + C.

Passo 5

Agora avaliamos de 2 a 4:
\int_{2}^{4}x\ln x\,dx =\Bigl[\frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4}\Bigr]_{2}^{4}.
Em x=4:
\frac{4^{2}}{2}\ln4 - \frac{4^{2}}{4} =8\ln4 - 4.
Em x=2:
\frac{2^{2}}{2}\ln2 - \frac{2^{2}}{4} =2\ln2 - 1.
Subtraindo,
\bigl(8\ln4 - 4\bigr)-\bigl(2\ln2 - 1\bigr) =8\cdot 2\ln2 - 4 - 2\ln2 + 1 =16\ln2 - 2\ln2 - 3 =14\ln2 - 3.

Resposta

14\ln2 - 3.

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