Calcule as integrais duplas.
\int_{1}^{2} \int_{-\frac{y}{2}}^{y^{2}} \frac{y}{x} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{y=1}^{2}\;\int_{x=-\tfrac y2}^{\,y^{2}}\frac{y}{x}\,dx\,dy.
O conteúdo aqui é o de integrais impróprias: a função \tfrac yx tem singularidade em x=0, e a faixa de integração em x vai de -\tfrac y2 até y^2, ultrapassando x=0. Para usar o Teorema Fundamental do Cálculo, precisamos antes verificar a convergência da integral interna.

Passo 2

Para cada y\in[1,2], chamemos
I(y)=\int_{-\tfrac y2}^{\,y^{2}}\frac{y}{x}\,dx.
Como x=0 está dentro do intervalo de integração, devemos dividir em duas integrais impróprias:
I(y)=\int_{-\tfrac y2}^{0}\frac{y}{x}\,dx \;+\; \int_{0}^{\,y^{2}}\frac{y}{x}\,dx.

Passo 3

Analisemos a primeira parte:
\int_{-\tfrac y2}^{0}\frac{y}{x}\,dx = y\;\lim_{t\to0^-}\bigl[\ln|x|\bigr]_{x=-\tfrac y2}^{x=t} = y\bigl(\lim_{t\to0^-}\ln|t|-\ln\tfrac y2\bigr) =-\infty.
Ela diverge para -\infty.

Passo 4

Analisemos a segunda parte:
\int_{0}^{\,y^{2}}\frac{y}{x}\,dx = y\;\lim_{t\to0^+}\bigl[\ln|x|\bigr]_{x=t}^{x=y^{2}} = y\bigl(\ln(y^{2})-\lim_{t\to0^+}\ln|t|\bigr) =+\infty.
Ela diverge para +\infty.

Passo 5

Como a soma de uma parte que vai a -\infty e outra que vai a +\infty não produz um valor finito, concluímos que a integral interna I(y) não converge para nenhum valor real. Portanto a integral dupla é divergente.

Resposta

A integral diverge (não converge para valor finito).

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