Calcule as integrais duplas.
\int_{1}^{2} \int_{0}^{x^{2}} \frac{1}{1+x^{3}} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{1}^{2}\int_{0}^{x^{2}}\frac{1}{1+x^{3}}\,dy\,dx.
O conteúdo envolvido é integração iterada (ou duplas), onde primeiro integramos em y e depois em x. Note que a função \tfrac{1}{1+x^{3}} não depende de y, então a integral interna será direta.

Passo 2

Vamos calcular a integral interna em y, mantendo x como parâmetro:
\int_{0}^{x^{2}}\frac{1}{1+x^{3}}\,dy.
Como \tfrac{1}{1+x^{3}} é constante em relação a y, tem-se
\int_{0}^{x^{2}}\frac{1}{1+x^{3}}\,dy =\frac{1}{1+x^{3}}\int_{0}^{x^{2}}dy =\frac{1}{1+x^{3}}\bigl[y\bigr]_{0}^{x^{2}} =\frac{x^{2}}{1+x^{3}}.

Passo 3

Substituindo o resultado acima na integral externa, ficamos com
\int_{1}^{2}\frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,dx.
Para resolver, usamos a substituição
u=1+x^{3}, \quad du=3x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx=\frac{1}{3}\,du.

Passo 4

Em x=1 temos u=1+1^{3}=2 e em x=2 temos u=1+2^{3}=9. Assim,
\int_{1}^{2}\frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,dx =\int_{u=2}^{9}\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{3}\,du =\frac{1}{3}\int_{2}^{9}\frac{1}{u}\,du =\frac{1}{3}\bigl[\ln u\bigr]_{2}^{9} =\frac{1}{3}\bigl(\ln 9-\ln 2\bigr) =\frac{1}{3}\ln\!\Bigl(\frac{9}{2}\Bigr).

Resposta

\frac{1}{3}\ln\!\Bigl(\frac{9}{2}\Bigr).

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