Inverta a ordem de integração para conseguir calcular as integrais abaixo.
\int_{0}^{4} \int_{\sqrt{x}}^{2} \frac{e^{y^{2}}}{y} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração de
\int_{0}^{4} \int_{\sqrt{x}}^{2} \frac{e^{y^{2}}}{y}\,dy\,dx
para facilitar o cálculo. O conteúdo principal é geometria de domínio e troca da ordem de integração em integrais duplas.

Passo 2

Descrevemos a região R do plano xy por
0 \le x \le 4,\quad \sqrt{x}\le y\le 2.
A condição \sqrt{x}\le y equivale a x\le y^{2}. Como \sqrt{x} varia de 0 a 2, concluímos que
0\le y\le 2 \quad\text{e}\quad 0\le x\le y^{2}.

Passo 3

A integral com a ordem invertida fica
\int_{y=0}^{2}\int_{x=0}^{y^{2}}\frac{e^{y^{2}}}{y}\,dx\,dy.

Passo 4

Integramos primeiro em x. Como \frac{e^{y^{2}}}{y} é constante em x,
\int_{0}^{y^{2}}\frac{e^{y^{2}}}{y}\,dx =\frac{e^{y^{2}}}{y}\bigl[x\bigr]_{0}^{y^{2}} =\frac{e^{y^{2}}}{y}\,y^{2} =y\,e^{y^{2}}.

Passo 5

Restou a integral
\int_{0}^{2}y\,e^{y^{2}}\,dy.
Fazendo a substituição t=y^{2} com dt=2y\,dy obtemos
\int_{0}^{2}y\,e^{y^{2}}\,dy =\tfrac12\int_{0}^{4}e^{t}\,dt =\tfrac12\bigl[e^{t}\bigr]_{0}^{4} =\tfrac{e^{4}-1}{2}.

Resposta

\frac{e^{4}-1}{2}

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