Subdivida a região R em regiões menores, a fim de que possa organizar a integral
\iint_{R} f(x, y) d A
possa ser resolvida a partir de regiões de tipo I ou II.
A região delimitada superiormente pela curva y=-x^{2}+2 e inferiormente pelas retas y=-x e y=x.

Passo 1

O enunciado pede para escrever
\iint_{R}f(x,y)\,dA
dividindo a região
R=\{(x,y)\mid y\le -x^2+2,\;y\ge -x,\;y\ge x\}
em pedaços de tipo I (ou tipo II). Vamos achar primeiro os pontos de interseção entre a parábola y=-x^2+2 e cada reta.

Passo 2

Resolver x em cada interseção:
  1. Entre y=x e y=-x^2+2:
    x = -x^2+2 \;\Longrightarrow\; x^2 + x -2 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 1 \text{ ou } x=-2.
    Dá os pontos (1,1) e (-2,-2).
  2. Entre y=-x e y=-x^2+2:
    -x = -x^2+2 \;\Longrightarrow\; x^2 - x -2 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 2 \text{ ou } x=-1.
    Dá os pontos (2,-2) e (-1,1).

Passo 3

Observe que a região acima de ambas as retas e abaixo da parábola só existe onde
\max(x,\,-x)\;\le\;-x^2+2.
Resolvendo separadamente em x<0 e em x>0, vemos que essa condição vale apenas para
-1\le x\le 1.

Passo 4

Em -1\le x\le 0 a maior das duas retas é y=-x, e em 0\le x\le1 a maior é y=x. Assim podemos dividir R em duas regiões de tipo I:
  1. R_1\colon -1\le x\le0,\quad -x\le y\le -x^2+2.
  2. R_2\colon 0\le x\le1,\quad x\le y\le -x^2+2.
Cada uma dessas é um domínio tipo I (integramos primeiro em y, depois em x).

Passo 5

Opcionalmente, para tipo II, podemos usar a divisão em faixas de y:
  1. Para 0\le y\le1, as retas y=x e y=-x limitam em x\in[-y,y].
  2. Para 1\le y\le2, o domínio fica sob a parábola x^2\le2-y, ou seja x\in[-\sqrt{2-y},\,\sqrt{2-y}].

Resposta

Para tipo I:
R = R_1\cup R_2,\quad R_1=\{(x,y)\mid -1\le x\le0,\;-x\le y\le -x^2+2\},\; R_2=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;x\le y\le -x^2+2\}.
Para tipo II:
R = R'_1\cup R'_2,\quad R'_1=\{(x,y)\mid 0\le y\le1,\,-y\le x\le y\},\; R'_2=\{(x,y)\mid 1\le y\le2,\,-\sqrt{2-y}\le x\le \sqrt{2-y}\}.

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