Sejam A, B e C pontos quaisquer \operatorname{com} A \neq B. Prove que:
a) Um ponto X pertence a reta determinada por A e B(\overrightarrow{A X}=\lambda \overrightarrow{A B}) se, e somente se,
\overrightarrow{C X}=\alpha \overrightarrow{C A}+\beta \overrightarrow{C B}, \quad \operatorname{com} \alpha+\beta=1
b) Um ponto X pertence ao interior do segmento A B(\overrightarrow{A X}=\lambda \overrightarrow{A B}, \operatorname{com} 0<\lambda<1) se, e somente se,
\overrightarrow{C X}=\alpha \overrightarrow{C A}+\beta \overrightarrow{C B}, \quad \text { com } \quad \alpha>0, \beta>0 \quad \text { e } \alpha+\beta=1
c) Um ponto X é um ponto interior ao triângulo A B C\left(\overrightarrow{A^{\prime} X}=\lambda \overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}\right., com 0<\lambda<1, em que A^{\prime} é um ponto interior ao segmento A C e B^{\prime} é interior ao segmento \left.C B\right) se, e somente se,
\overrightarrow{C X}=\alpha \overrightarrow{C A}+\beta \overrightarrow{C B}, \text { com } \alpha>0, \beta>0 \text { e } \alpha+\beta<1

Passo 1

O enunciado quer caracterizar, em termos de vetores, três situações geométricas envolvendo pontos A, B, C e um ponto X:
  1. X está na reta AB.
  2. X está no interior do segmento AB.
  3. X está no interior do triângulo ABC.
    Vamos usar manipulação de vetores e a ideia de combinação afim e combinação convexa para provar cada uma dessas equivalências.

Passo 2

Prova de (a). Suponha primeiro que X está na reta determinada por A e B. Isso significa que existe \lambda\in\mathbb{R} tal que
\overrightarrow{AX} = \lambda\,\overrightarrow{AB}.
Então
\overrightarrow{CX} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AX} = \overrightarrow{CA} + \lambda\,\overrightarrow{AB}.
Como \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}, obtemos
\overrightarrow{CX} = \overrightarrow{CA} + \lambda\bigl(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}\bigr) = (1-\lambda)\,\overrightarrow{CA} + \lambda\,\overrightarrow{CB}.
Basta definir \alpha = 1-\lambda e \beta = \lambda. Claramente \alpha+\beta=1, e segue a forma desejada.
Por outro lado, suponha que
\overrightarrow{CX} = \alpha\,\overrightarrow{CA} + \beta\,\overrightarrow{CB}, \quad \alpha+\beta=1.
Então
\overrightarrow{AX} = \overrightarrow{CX} - \overrightarrow{CA} = \alpha\,\overrightarrow{CA} + \beta\,\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CA} = \beta\bigl(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}\bigr) = \beta\,\overrightarrow{AB}.
Isto mostra que X está na reta AB, com \lambda = \beta. Isso completa a prova de (a).

Passo 3

Prova de (b). Agora X está no interior do segmento AB se, e somente se, na expressão
\overrightarrow{AX} = \lambda\,\overrightarrow{AB}
temos 0<\lambda<1. No passo anterior vimos que isso equivale a
\overrightarrow{CX} = (1-\lambda)\,\overrightarrow{CA} + \lambda\,\overrightarrow{CB}.
Como \alpha=1-\lambda e \beta=\lambda, a condição 0<\lambda<1 torna-se \alpha>0, \beta>0 e \alpha+\beta=1. E o argumento recíproco segue invertendo os passos. Assim (b) fica demonstrado.

Passo 4

Prova de (c). Suponha que X é interior ao triângulo ABC. Então existem pontos interiores A' em AC e B' em CB, e um parâmetro u\in(0,1), tais que X está no segmento A'B'. Escrevemos:
A' = (1-s)A + s\,C,\quad s\in(0,1), \qquad B' = (1-t)C + t\,B,\quad t\in(0,1),
X = (1-u)A' + u\,B',\quad u\in(0,1).
Substituindo A' e B' em X e reorganizando, chega-se a
X = \alpha\,A + \beta\,B + \gamma\,C,
com
\alpha = (1-u)(1-s),\quad \beta = u\,t,\quad \gamma = (1-u)s + u(1-t).
Note que \alpha>0, \beta>0 e \alpha+\beta+\gamma = 1. Como \gamma>0, temos \alpha+\beta<1. Em forma vetorial,
\overrightarrow{CX} = \alpha\,\overrightarrow{CA} + \beta\,\overrightarrow{CB}, \quad \alpha>0,\;\beta>0,\;\alpha+\beta<1.
O recíproco também funciona: dada essa combinação convexa estrita, definimos
A' = \frac{\alpha}{\alpha+\gamma}\,A + \frac{\gamma}{\alpha+\gamma}\,C, \quad B' = \frac{\gamma}{\beta+\gamma}\,C + \frac{\beta}{\beta+\gamma}\,B,
com \gamma=1-\alpha-\beta>0. Então A' está em AC, B' em CB e X fica no segmento A'B' com parâmetro em (0,1). Isso prova (c).

Resposta

As equivalências em (a), (b) e (c) foram estabelecidas conforme a combinação afim e convexa dos vetores, completando a demonstração.

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