Sejam A, B e C pontos quaisquer \operatorname{com} A \neq B. Prove que:
a) Um ponto X pertence a reta determinada por A e B(\overrightarrow{A X}=\lambda \overrightarrow{A B}) se, e somente se,
b) Um ponto X pertence ao interior do segmento A B(\overrightarrow{A X}=\lambda \overrightarrow{A B}, \operatorname{com} 0<\lambda<1) se, e somente se,
\overrightarrow{C X}=\alpha \overrightarrow{C A}+\beta \overrightarrow{C B}, \quad \text { com } \quad \alpha>0, \beta>0 \quad \text { e } \alpha+\beta=1
c) Um ponto X é um ponto interior ao triângulo A B C\left(\overrightarrow{A^{\prime} X}=\lambda \overrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}}\right., com 0<\lambda<1, em que A^{\prime} é um ponto interior ao segmento A C e B^{\prime} é interior ao segmento \left.C B\right) se, e somente se,
\overrightarrow{C X}=\alpha \overrightarrow{C A}+\beta \overrightarrow{C B}, \text { com } \alpha>0, \beta>0 \text { e } \alpha+\beta<1
Passo 1
O enunciado quer caracterizar, em termos de vetores, três situações geométricas envolvendo pontos A, B, C e um ponto X:
X está na reta AB.
X está no interior do segmento AB.
X está no interior do triângulo ABC.
Vamos usar manipulação de vetores e a ideia de combinação afim e combinação convexa para provar cada uma dessas equivalências.
Passo 2
Prova de (a). Suponha primeiro que X está na reta determinada por A e B. Isso significa que existe \lambda\in\mathbb{R} tal que
Como \alpha=1-\lambda e \beta=\lambda, a condição 0<\lambda<1 torna-se \alpha>0, \beta>0 e \alpha+\beta=1. E o argumento recíproco segue invertendo os passos. Assim (b) fica demonstrado.
Passo 4
Prova de (c). Suponha que X é interior ao triângulo ABC. Então existem pontos interiores A' em AC e B' em CB, e um parâmetro u\in(0,1), tais que X está no segmento A'B'. Escrevemos:
A' = (1-s)A + s\,C,\quad s\in(0,1), \qquad B' = (1-t)C + t\,B,\quad t\in(0,1),
X = (1-u)A' + u\,B',\quad u\in(0,1).
Substituindo A' e B' em X e reorganizando, chega-se a