Estime o volume do sólido que está abaixo da superfície z=x+2 y^{2} e acima do retângulo R=[0,2] \times[0,2]. Use a soma dupla de Riemann \operatorname{com} m=2, n=2 e escolha \left(x_{i j}{ }^{*}, y_{i j}{ }^{*}\right) como os cantos inferiores direitos.

Passo 1

O enunciado pede que a gente estime o volume do sólido sob a superfície z = x + 2y^{2} e acima do retângulo R=[0,2]\times[0,2], usando a soma dupla de Riemann com m=2, n=2 e escolhendo como pontos de amostragem os cantos inferiores direitos de cada subretângulo. Vamos aplicar a definição de soma de Riemann para duas variáveis.

Passo 2

Calcular os comprimentos dos subintervalos em x e em y. Como R=[0,2]\times[0,2] e m=n=2, temos
\Delta x = \frac{2-0}{2} = 1
e
\Delta y = \frac{2-0}{2} = 1.
Os pontos de partição em x são x_0=0, x_1=1, x_2=2, e em y são y_0=0, y_1=1, y_2=2.

Passo 3

Identificar os pontos de amostragem (x_i^*,y_j^*) como os cantos inferiores direitos de cada subretângulo [x_{i-1},x_i]\times[y_{j-1},y_j]. Assim:
Para i=1,j=1: (x_1,y_0)=(1,0).
Para i=1,j=2: (x_1,y_1)=(1,1).
Para i=2,j=1: (x_2,y_0)=(2,0).
Para i=2,j=2: (x_2,y_1)=(2,1).

Passo 4

Avaliar a função f(x,y)=x+2y^{2} em cada ponto de amostragem:
f(1,0)=1+2\cdot0^2=1,\quad f(1,1)=1+2\cdot1^2=3,
f(2,0)=2+2\cdot0^2=2,\quad f(2,1)=2+2\cdot1^2=4.

Passo 5

Montar a soma de Riemann:
\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}f(x_i^*,y_j^*)\,\Delta x\,\Delta y =(1+3+2+4)\cdot(1\cdot1)=10.

Resposta

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