Calcule as integrais duplas:
\int_{-1}^{1} \int_{\sqrt{1-x}}^{\sqrt{4-x^{2}}} x d y d x

Passo 1

O enunciado dá a integral dupla
\int_{-1}^{1}\int_{\sqrt{1-x}}^{\sqrt{4-x^{2}}} x\,dy\,dx
O que é pedido: calcular o valor numérico dessa integral.
Informações relevantes dadas:
  • A variável de integração interna é y com limites \sqrt{1-x} (inferior) e \sqrt{4-x^{2}} (superior).
  • A variável externa é x com limites -1 e 1.
  • A função integranda é x (não depende de y).

Passo 2

Integrar primeiro em relação a y (regra: ao integrar em relação a y, trate x como constante). Para qualquer constante x,
\int_{\sqrt{1-x}}^{\sqrt{4-x^{2}}} x\,dy = x\cdot\bigl(\sqrt{4-x^{2}}-\sqrt{1-x}\bigr).
Portanto a integral dupla reduz-se à integral simples
\int_{-1}^{1} x\bigl(\sqrt{4-x^{2}}-\sqrt{1-x}\bigr)\,dx.

Passo 3

Separe em duas integrais:
\int_{-1}^{1} x\sqrt{4-x^{2}}\,dx \;-\; \int_{-1}^{1} x\sqrt{1-x}\,dx.
Análise de simetria da primeira integral: a função x\sqrt{4-x^{2}} é ímpar porque x é ímpar e \sqrt{4-x^{2}} é par. Para uma função ímpar f com intervalo simétrico [-a,a] vale \int_{-a}^{a} f(x)\,dx=0. Assim
\int_{-1}^{1} x\sqrt{4-x^{2}}\,dx = 0.

Passo 4

Resta calcular
- \int_{-1}^{1} x\sqrt{1-x}\,dx.
Para avaliar \int_{-1}^{1} x\sqrt{1-x}\,dx use a substituição \,u=1-x. Então:
  • u=1-x implica du=-dx.
  • Quando x=-1, u=2. Quando x=1, u=0.
  • Escrever x em função de u: x=1-u.
    Assim
\int_{-1}^{1} x\sqrt{1-x}\,dx = \int_{u=2}^{u=0} (1-u)\sqrt{u}\,(-du).

Passo 5

Mudar os limites para ordem crescente e simplificar:
\int_{-1}^{1} x\sqrt{1-x}\,dx = \int_{0}^{2} (1-u)u^{1/2}\,du = \int_{0}^{2} \bigl(u^{1/2}-u^{3/2}\bigr)\,du.
Calcule primitiva termo a termo:
\int u^{1/2}\,du = \frac{2}{3}u^{3/2},\qquad \int u^{3/2}\,du = \frac{2}{5}u^{5/2}.
Portanto
\int_{0}^{2} \bigl(u^{1/2}-u^{3/2}\bigr)\,du = \left[\frac{2}{3}u^{3/2}-\frac{2}{5}u^{5/2}\right]_{0}^{2}.
Avalie em u=2 (em u=0 ambos termos são zero):
\frac{2}{3}\,2^{3/2}-\frac{2}{5}\,2^{5/2}.
Use 2^{3/2}=2\sqrt{2} e 2^{5/2}=4\sqrt{2}:
\frac{2}{3}\cdot 2\sqrt{2}-\frac{2}{5}\cdot 4\sqrt{2} = \frac{4\sqrt{2}}{3}-\frac{8\sqrt{2}}{5} = \sqrt{2}\left(\frac{4}{3}-\frac{8}{5}\right) = \sqrt{2}\cdot\frac{-4}{15} = -\frac{4\sqrt{2}}{15}.
Então
\int_{-1}^{1} x\sqrt{1-x}\,dx = -\frac{4\sqrt{2}}{15}.

Passo 6

Voltando à integral original:
\int_{-1}^{1} x\bigl(\sqrt{4-x^{2}}-\sqrt{1-x}\bigr)\,dx = 0 \;-\; \left(-\frac{4\sqrt{2}}{15}\right) = \frac{4\sqrt{2}}{15}.
Pequena palavra de ânimo: deu trabalho, mas com simetria e uma substituição simples a conta fica bem direta — você consegue na prova!

Resposta

\dfrac{4\sqrt{2}}{15}

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