Calcule as integrais duplas:
Passo 1
O enunciado dá a integral dupla
O que é pedido: calcular o valor numérico dessa integral.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A variável de integração interna é
com limites (inferior) e (superior). - A variável externa é
com limites e . - A função integranda é
(não depende de ).
Passo 2
Integrar primeiro em relação a
(regra: ao integrar em relação a
, trate
como constante). Para qualquer constante
,
Portanto a integral dupla reduz-se à integral simples
Passo 3
Separe em duas integrais:
Análise de simetria da primeira integral: a função
é ímpar porque
é ímpar e
é par. Para uma função ímpar
com intervalo simétrico
vale
. Assim
Passo 4
Resta calcular
Para avaliar
use a substituição
. Então:
-
implica . - Quando
, . Quando , . - Escrever
em função de : .
Assim
Passo 5
Mudar os limites para ordem crescente e simplificar:
Calcule primitiva termo a termo:
Portanto
Avalie em
(em
ambos termos são zero):
Use
e
:
Então
Passo 6
Voltando à integral original:
Pequena palavra de ânimo: deu trabalho, mas com simetria e uma substituição simples a conta fica bem direta — você consegue na prova!