Calcule as integrais duplas:
\int_{0}^{2} \int_{-y}^{y}\left(x y^{2}+x\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{2}\int_{-y}^{y}\left(xy^{2}+x\right)\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • Os limites externos são y variando de 0 a 2.
  • Para cada y, o limite interno é x variando de -y a y.
  • A função integranda é x y^{2}+x.
As perguntas implícitas são: calcular a integral interna em x e depois a integral externa em y, chegando ao valor numérico final.

Passo 2

Primeiro observe a integranda e faça uma simplificação útil. Podemos fatorar x em
x y^{2}+x = x\,(y^{2}+1).
Importante: ao integrar em x tratando y como parâmetro (constante), o fator (y^{2}+1) pode ser puxado para fora da integral em x. Isso é porque, em integração iterada, a variável de integração interna é x e y é vista como constante nessa etapa.

Passo 3

Calcule a integral interna em x. Usando a fatoração:
\int_{-y}^{y}\left(xy^{2}+x\right)\,dx = \int_{-y}^{y} x\,(y^{2}+1)\,dx.
Puxando o fator constante em relação a x:
= (y^{2}+1)\int_{-y}^{y} x\,dx.
Agora use a fórmula básica \displaystyle \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}. Assim,
\int_{-y}^{y} x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{x=-y}^{x=y} = \frac{y^{2}}{2}-\frac{(-y)^{2}}{2}.

Passo 4

Avalie a diferença dos quadrados:
\frac{y^{2}}{2}-\frac{(-y)^{2}}{2} = \frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=0.
Portanto a integral interna é
\int_{-y}^{y}\left(xy^{2}+x\right)\,dx = (y^{2}+1)\cdot 0 = 0.
Isso vale para todo y no intervalo [0,2].

Passo 5

Com a integral interna sendo 0 para cada y, a integral externa fica trivial:
\int_{0}^{2} 0\,dy = 0.
Logo o valor da integral dupla é 0.

Passo 6

Comentário didático e atalho útil para a prova: para cada y fixo, a função em x é x(y^{2}+1), que é uma função ímpar de x (pois trocar x por -x muda o sinal). Integrar uma função ímpar em um intervalo simétrico [-y,y] sempre dá zero — isto é um reconhecimento rápido que poupa cálculo detalhado. Então, sempre que vir algo do tipo x\cdot(\text{função de }y)çã com limites simétricos em x, verifique paridade para decidir rapidamente.

Resposta

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