Para cada y, o limite interno é x variando de -y a y.
A função integranda é x y^{2}+x.
As perguntas implícitas são: calcular a integral interna em x e depois a integral externa em y, chegando ao valor numérico final.
Passo 2
Primeiro observe a integranda e faça uma simplificação útil. Podemos fatorar x em
x y^{2}+x = x\,(y^{2}+1).
Importante: ao integrar em x tratando y como parâmetro (constante), o fator (y^{2}+1) pode ser puxado para fora da integral em x. Isso é porque, em integração iterada, a variável de integração interna é x e y é vista como constante nessa etapa.
Passo 3
Calcule a integral interna em x. Usando a fatoração:
Com a integral interna sendo 0 para cada y, a integral externa fica trivial:
\int_{0}^{2} 0\,dy = 0.
Logo o valor da integral dupla é 0.
Passo 6
Comentário didático e atalho útil para a prova: para cada y fixo, a função em x é x(y^{2}+1), que é uma função ímpar de x (pois trocar x por -x muda o sinal). Integrar uma função ímpar em um intervalo simétrico [-y,y] sempre dá zero — isto é um reconhecimento rápido que poupa cálculo detalhado. Então, sempre que vir algo do tipo x\cdot(\text{função de }y)çã com limites simétricos em x, verifique paridade para decidir rapidamente.