Calcule as integrais duplas:
\int_{-1}^{1} \int_{-1}^{\text {|x }}\left(x^{2}-2 y^{2}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{|x|}\left(x^{2}-2y^{2}\right)\,dy\,dx.
Informações e o que é pedido:
  • A variável externa é x com intervalo [-1,1].
  • A variável interna é y com limite inferior -1 e limite superior |x| (note que há valor absoluto).
  • A função a integrar é x^{2}-2y^{2}.
  • Pedido: calcular o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Entendendo o efeito do valor absoluto e escolhendo uma estratégia:
  • O limite superior |x|\) obriga a tratar separadamente \(x<0\) e \(x\ge0\), pois \[|x|=\begin{cases} -x, & x<0,\\[4pt] x, & x\ge0. \end{cases}
  • Uma observação muito útil: a integranda depende apenas de x^{2}\] e \(y^{2}, isto é, é par em x (trocar x por -x não altera x^{2}) e também envolve y^{2}. Além disso, para x e -x o limite superior |x| é o mesmo. Portanto a função F(x):=\int_{-1}^{|x|}\left(x^{2}-2y^{2}\right)\,dysatisfaz F(-x)=F(x): F é par. Logo a integral sobre [-1,1] pode ser duplicada sobre [0,1]: \int_{-1}^{1}\int_{-1}^{|x|}\left(x^{2}-2y^{2}\right)\,dy\,dx =2\int_{0}^{1}\int_{-1}^{x}\left(x^{2}-2y^{2}\right)\,dy\,dx.Aqui já troquei |x| por x porque em [0,1] vale |x|=x.]

Passo 3

Calcular a integral interna (em y) para x\in[0,1]:
Queremos
\int_{-1}^{x}\left(x^{2}-2y^{2}\right)\,dy.
Tratamos termo a termo, lembrando que na integração em relação a y a variável x é constante.
  • Integral do primeiro termo: \int_{-1}^{x} x^{2}\,dy = x^{2}\cdot\bigl(y\bigr)\Big|_{y=-1}^{y=x} = x^{2}(x-(-1)) = x^{2}(x+1)=x^{3}+x^{2}.
  • Integral do segundo termo: \int_{-1}^{x} 2y^{2}\,dy = 2\cdot\frac{y^{3}}{3}\Big|_{y=-1}^{y=x} = \frac{2}{3}\bigl(x^{3}-(-1)^{3}\bigr) =\frac{2}{3}\bigl(x^{3}+1\bigr).
Subtraindo os dois resultados (pois o integrando tem sinal -2y^{2}):
\int_{-1}^{x}\left(x^{2}-2y^{2}\right)\,dy = \bigl(x^{3}+x^{2}\bigr)-\frac{2}{3}\bigl(x^{3}+1\bigr).
Agora simplificar:
x^{3}+x^{2}-\frac{2}{3}x^{3}-\frac{2}{3} =\left(1-\frac{2}{3}\right)x^{3}+x^{2}-\frac{2}{3} =\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}-\frac{2}{3}.

Passo 4

Agora integrar o resultado em x sobre [0,1] e multiplicar por 2:
I=2\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}-\frac{2}{3}\right)\,dx.
Calculamos a primitiva termo a termo:
  • \displaystyle \int \frac{1}{3}x^{3}\,dx=\frac{1}{3}\cdot\frac{x^{4}}{4}=\frac{1}{12}x^{4}.
  • \displaystyle \int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.
  • \displaystyle \int -\frac{2}{3}\,dx=-\frac{2}{3}x.
Assim a integral definida de 0 a 1 é
\left[\frac{1}{12}x^{4}+\frac{1}{3}x^{3}-\frac{2}{3}x\right]_{0}^{1} =\frac{1}{12}+\frac{1}{3}-\frac{2}{3}.
Calculemos esse número com calma:
\frac{1}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}, \qquad \frac{1}{12}-\frac{1}{3}=\frac{1}{12}-\frac{4}{12}=-\frac{3}{12}=-\frac{1}{4}.
Portanto a integral de 0 a 1 vale -\tfrac{1}{4}. Multiplicando por 2 obtemos
I=2\cdot\left(-\tfrac{1}{4}\right)=-\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Interpretação rápida (para te animar): o resultado negativo indica que, no balanço da região de integração, o termo -2y^{2} domina o termo x^{2} em média sobre a região considerada. Nada de errado — é só o sinal da integral.

Resposta

-\tfrac{1}{2}

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