A variável interna é y com limite inferior -1 e limite superior |x| (note que há valor absoluto).
A função a integrar é x^{2}-2y^{2}.
Pedido: calcular o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Entendendo o efeito do valor absoluto e escolhendo uma estratégia:
O limite superior |x|\) obriga a tratar separadamente \(x<0\) e \(x\ge0\), pois
\[|x|=\begin{cases} -x, & x<0,\\[4pt] x, & x\ge0. \end{cases}
Uma observação muito útil: a integranda depende apenas de x^{2}\] e \(y^{2}, isto é, é par em x (trocar x por -x não altera x^{2}) e também envolve y^{2}. Além disso, para x e -x o limite superior |x| é o mesmo. Portanto a funçãoF(x):=\int_{-1}^{|x|}\left(x^{2}-2y^{2}\right)\,dysatisfaz F(-x)=F(x): F é par. Logo a integral sobre [-1,1] pode ser duplicada sobre [0,1]:\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{|x|}\left(x^{2}-2y^{2}\right)\,dy\,dx =2\int_{0}^{1}\int_{-1}^{x}\left(x^{2}-2y^{2}\right)\,dy\,dx.Aqui já troquei |x| por x porque em [0,1] vale |x|=x.]
Passo 3
Calcular a integral interna (em y) para x\in[0,1]:
Queremos
\int_{-1}^{x}\left(x^{2}-2y^{2}\right)\,dy.
Tratamos termo a termo, lembrando que na integração em relação a y a variável x é constante.
Integral do primeiro termo:\int_{-1}^{x} x^{2}\,dy = x^{2}\cdot\bigl(y\bigr)\Big|_{y=-1}^{y=x} = x^{2}(x-(-1)) = x^{2}(x+1)=x^{3}+x^{2}.
Integral do segundo termo:\int_{-1}^{x} 2y^{2}\,dy = 2\cdot\frac{y^{3}}{3}\Big|_{y=-1}^{y=x} = \frac{2}{3}\bigl(x^{3}-(-1)^{3}\bigr) =\frac{2}{3}\bigl(x^{3}+1\bigr).
Subtraindo os dois resultados (pois o integrando tem sinal -2y^{2}):
Portanto a integral de 0 a 1 vale -\tfrac{1}{4}. Multiplicando por 2 obtemos
I=2\cdot\left(-\tfrac{1}{4}\right)=-\tfrac{1}{2}.
Passo 5
Interpretação rápida (para te animar): o resultado negativo indica que, no balanço da região de integração, o termo -2y^{2} domina o termo x^{2} em média sobre a região considerada. Nada de errado — é só o sinal da integral.